Deux remarques sur la géométrie symplectique de l'espace des feuilletages mesurés sur une surface

Athanase Papadopoulos

Annales de l'institut Fourier (1986)

  • Volume: 36, Issue: 2, page 127-141
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

top
We study 2 properties of the space ℳ ℱ of measured foliations on a closed orientable surface, with respect to the piecewise-linear symplectic structure of this space, defined by Thurston:We first prove that for a given foliation, the cone of transverses invariant measures imbeds in ℳℱ as an isotropic submanifold, recovering as a corollary a theorem due to Katok and others stating that the dimension of this cone is ≤ 3 g - 3 , where g is the genus of the surface.We then prove a duality formula between the differential of the intersection function i ( y , · ) (where γ is a simple closed curve not homotopic to a point), and a certain vectorfield defined on a subspace of ℳ ℱ where the differential makes sense; the vectorfield has a geometric interpretation as the tangent field to a 1-parameter family of homeomorphisms defined by “twisting” along the curve γ .

How to cite

top

Papadopoulos, Athanase. "Deux remarques sur la géométrie symplectique de l'espace des feuilletages mesurés sur une surface." Annales de l'institut Fourier 36.2 (1986): 127-141. <http://eudml.org/doc/74709>.

@article{Papadopoulos1986,
abstract = {Cet article comprend deux parties indépendantes. On démontre d’abord que pour tout feuilletage dont les singularités sont des selles ayant au moins 3 séparatrices, sur une surface fermée orientable de genre $g\ge 2$, le cône des mesures transverses invariantes se plonge comme un sous-espace isotrope dans l’espace $\{\cal M\}\{\cal F\}$ des feuilletages mesures muni de sa structure symplectique linéaire par morceaux, définie par Thurston. On en déduit une nouvelle démonstration d’un résultat essentiellement du à Katok, qui affirme que le nombre de mesures transverses invariantes indépendantes est $\le 3g-3$.On décrit ensuit le flot hamiltonien de la fonction intersection géométrique avec une courbe simple fermée.},
author = {Papadopoulos, Athanase},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {space of measured foliations on 2-manifolds; transverse invariant; measures; Hamiltonian flow of the geometric intersection function},
language = {fre},
number = {2},
pages = {127-141},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Deux remarques sur la géométrie symplectique de l'espace des feuilletages mesurés sur une surface},
url = {http://eudml.org/doc/74709},
volume = {36},
year = {1986},
}

TY - JOUR
AU - Papadopoulos, Athanase
TI - Deux remarques sur la géométrie symplectique de l'espace des feuilletages mesurés sur une surface
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1986
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 36
IS - 2
SP - 127
EP - 141
AB - Cet article comprend deux parties indépendantes. On démontre d’abord que pour tout feuilletage dont les singularités sont des selles ayant au moins 3 séparatrices, sur une surface fermée orientable de genre $g\ge 2$, le cône des mesures transverses invariantes se plonge comme un sous-espace isotrope dans l’espace ${\cal M}{\cal F}$ des feuilletages mesures muni de sa structure symplectique linéaire par morceaux, définie par Thurston. On en déduit une nouvelle démonstration d’un résultat essentiellement du à Katok, qui affirme que le nombre de mesures transverses invariantes indépendantes est $\le 3g-3$.On décrit ensuit le flot hamiltonien de la fonction intersection géométrique avec une courbe simple fermée.
LA - fre
KW - space of measured foliations on 2-manifolds; transverse invariant; measures; Hamiltonian flow of the geometric intersection function
UR - http://eudml.org/doc/74709
ER -

References

top
  1. [1] A. J. CASSON, Automorphisms of surfaces after Nielsen and Thurston, cours à l'"University of Texas at Austin", 1982-1983, notes prises par S. Bleiler. 
  2. [2] A. FATHI, F. LAUDENBACH, V. POENARU, Travaux de Thurston sur les surfaces (Séminaire Orsay), Astérisque, 66-67 (1979). Zbl0406.00016
  3. [3] J. HARER et R. PENNER, Combinatories of train tracks and pavings of projective lamination spaces, Preprint. Zbl0765.57001
  4. [4] A. KATOK, Invariant measures of flows on oriented surfaces, Soviet Math. Dokl., 14 (1973), 1104-1108. Zbl0298.28013
  5. [5] G. LEVITT, Sur les mesures transverses invariantes d'un feuilletage de codimension 1, C.R.A.S., Paris, 290 (1980), 1139-1140. Zbl0459.57017MR81g:57015
  6. [6] G. LEVITT, Feuilletages des surfaces, Thèse de doctorat d'État, Univ. Paris VII,1983. 
  7. [7] H. MASUR, Interval exchange transformations and measured foliations, Ann. of Math., 115 (1982), 169-200. Zbl0497.28012MR83e:28012
  8. [8] J. PLANTE, Foliations with measure-preserving holonomy, Ann. of Math., 102 (1975), 327-361. Zbl0314.57018MR52 #11947
  9. [9] A. PAPADOPOULOS, Réseaux ferroviaires, difféomorphismes pseudo-Anosov et automorphismes symplectiques de l'homologie d'une surface, Publi. Math. Orsay, n° 83-03. Zbl0524.57019
  10. [10] A. PAPADOPOULOS, Réseaux ferroviaires et courbes simples, C.R.A.S., Paris, 297 (1983), 565-569. Zbl0548.57012MR85a:57013
  11. [11] W. THURSTON, The geometry and topology of 3-manifolds, Notes de cours à Princeton. Zbl0483.57007
  12. [12] W. VEECH, Interval exchange transformations, Jour. d'Anal. Math., 33 (1978), 222-272. Zbl0455.28006MR80e:28034
  13. [13] S. WOLPERT, On the symplectic geometry of deformations of a hyperbolic surface, Ann. of Math., 117 (1983), 207-234. Zbl0518.30040MR85e:32028

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.