Sur l’espace de modules des faisceaux semi stables de rang 2, de classes de Chern (0,3) sur ℙ 2

K. Hulek; Joseph Le Potier

Annales de l'institut Fourier (1989)

  • Volume: 39, Issue: 2, page 251-292
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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The moduli space of semi-stable sheaves of rank-2 and Chern classes (0,3) on the projective plane ℙ 2 , denoted by M = M ( 0 , 3 ) , is a smooth irreducible projective variety of dimension 9. In M , the points which come from sheaves which are not locally free give a hypersurface ∂ M . In this article we show that all complete surfaces in M must meet the boundary ∂ M ; in other words, there does not exist a family of vector bundles which is parametrized by a complete surface in M . The essential point of the proof is the construction of a birational morphism Φ : M → , Gr from M to the grassmannian Gr of nets of conics in ℙ 2 ; this allows us to identify M with a blow-up of Gr along a surface. This gives us a precise description of cohomology algebra of M and we use this to determine the fundamental class of a complete surface in M which does not meet ∂ M . We then show that this value of the fundamental class can not arise.

How to cite

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Hulek, K., and Le Potier, Joseph. "Sur l’espace de modules des faisceaux semi stables de rang 2, de classes de Chern (0,3) sur ${\mathbb {P}}_2$." Annales de l'institut Fourier 39.2 (1989): 251-292. <http://eudml.org/doc/74831>.

@article{Hulek1989,
abstract = {L’espace de modules $M=M(0,3)$ des faisceaux semi-stables de rang 2, de classes de Chern (0,3) sur le plan projectif $\{\Bbb P\}_2$ est une variété projective irréductible et lisse de dimension 9. Dans $M$, les points qui ne proviennent pas d’un faisceau localement libre constituent une hypersurface $\partial M$. Dans cet article, nous montrons que toute surface complété de $M$ rencontre la frontière $\partial M$, autrement dit qu’il n’existe pas de famille de fibrés vectoriels paramétrée par une surface complète de $M$. La démonstration repose sur la construction d’un morphisme birationnel $\phi : M\rightarrow \;\{\rm Gr\}$ de $M$ dans la grassmannienne Gr des réseaux de coniques de $\{\Bbb P\}_2$, ce qui nous permet d’identifier $M$ avec l’éclaté d’une surface de Gr. Ceci conduit à une description précise de l’algèbre de cohomologie de $M$, description utilisée pour déterminer quelle pourrait être la classe fondamentale des surfaces complètes de $M$ ne rencontrant pas $\partial M$ et aboutir à une contradiction.},
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