Périodicité (mod $q$) des suites elliptiques et points $S$-entiers sur les courbes elliptiques

Ayad, Mohamed. "Périodicité (mod $q$) des suites elliptiques et points $S$-entiers sur les courbes elliptiques." Annales de l'institut Fourier 43.3 (1993): 585-618. <http://eudml.org/doc/75013>.

@article{Ayad1993,
abstract = {Soit $E$ une courbe elliptique sur $\{\Bbb Q\}$ par un modèle de Weierstrass généralisé :\begin\{\}y^2+A\_1 xy+A\_3 y= x^3+A\_2 x^2+ A\_4 x+A\_6; \qquad A\_i\in \{\Bbb Z\}.\end\{\}Soit $M=(a/d^2,b/d_3)$ avec $(a,d)=1$, un point rationnel sur cette courbe. Pour tout entier $m$, on exprime les coordonnées de $mM$ sous la forme :\begin\{\}mM= \left( \{\{\varphi \_m(M)\} \over \{\psi ^2\_n(m)\}\}, \{\{\omega \_m(M)\} \over \{\psi ^ 3\_m(M)\}\} \right)= \left( \{\{\widehat\{\varphi \}\_m\} \over \{d^2\widehat\{\psi \}^2\_ m\}\}, \{\{\widehat\{\omega \}\_m\} \over \{d^3 \widehat\{\psi \}^3\_ m\}\} \right),\end\{\}où $\varphi _m, \psi \_ m, \omega _ m\in \{\Bbb Z\}[A_1, \dots , A_6,x,y]$ et $\widehat\{\varphi \}_m$, $\widehat\{\psi \}_m$, $\widehat\{\omega \}_m$ sont déduits par multiplication par des puissances convenables de $d$.Soit $p$ un nombre premier impair et supposons que $M~(\{\rm mod\}\,p)$ est non singulier et que le rang d’apparition de $p$ dans la suite d’entiers $(\widehat\{\psi \}_m)$ est supérieur ou égal à trois. Notons ce rang par $r=r(p)$ et soit $\nu _ p(\widehat\{\psi \}_r)=e_0\ge 1$. Nous montrons que la suite $(\widehat\{\psi \}_m)$ est périodique (mod $p^N$) pour tout $N\ge 1$. Notons cette période par $\pi _N$, alors il existe un rang $N_1$ effectivement calculable, avec $1\le N_1\le e_ 0$, tel que $\pi _1=\dots =\pi _\{N_1\}$ et $\pi _\{N+1\}= p\pi _N$ pour $N\ge N_1$. Ces considérations sont utilisées pour déterminer les points $S$-entiers sur les courbes elliptiques.},
author = {Ayad, Mohamed},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {periodicity; elliptic sequences; -integral points on elliptic curves},
language = {fre},
number = {3},
pages = {585-618},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Périodicité (mod $q$) des suites elliptiques et points $S$-entiers sur les courbes elliptiques},
url = {http://eudml.org/doc/75013},
volume = {43},
year = {1993},
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TY - JOUR
AU - Ayad, Mohamed
TI - Périodicité (mod $q$) des suites elliptiques et points $S$-entiers sur les courbes elliptiques
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1993
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 43
IS - 3
SP - 585
EP - 618
AB - Soit $E$ une courbe elliptique sur ${\Bbb Q}$ par un modèle de Weierstrass généralisé :\begin{}y^2+A_1 xy+A_3 y= x^3+A_2 x^2+ A_4 x+A_6; \qquad A_i\in {\Bbb Z}.\end{}Soit $M=(a/d^2,b/d_3)$ avec $(a,d)=1$, un point rationnel sur cette courbe. Pour tout entier $m$, on exprime les coordonnées de $mM$ sous la forme :\begin{}mM= \left( {{\varphi _m(M)} \over {\psi ^2_n(m)}}, {{\omega _m(M)} \over {\psi ^ 3_m(M)}} \right)= \left( {{\widehat{\varphi }_m} \over {d^2\widehat{\psi }^2_ m}}, {{\widehat{\omega }_m} \over {d^3 \widehat{\psi }^3_ m}} \right),\end{}où $\varphi _m, \psi \_ m, \omega _ m\in {\Bbb Z}[A_1, \dots , A_6,x,y]$ et $\widehat{\varphi }_m$, $\widehat{\psi }_m$, $\widehat{\omega }_m$ sont déduits par multiplication par des puissances convenables de $d$.Soit $p$ un nombre premier impair et supposons que $M~({\rm mod}\,p)$ est non singulier et que le rang d’apparition de $p$ dans la suite d’entiers $(\widehat{\psi }_m)$ est supérieur ou égal à trois. Notons ce rang par $r=r(p)$ et soit $\nu _ p(\widehat{\psi }_r)=e_0\ge 1$. Nous montrons que la suite $(\widehat{\psi }_m)$ est périodique (mod $p^N$) pour tout $N\ge 1$. Notons cette période par $\pi _N$, alors il existe un rang $N_1$ effectivement calculable, avec $1\le N_1\le e_ 0$, tel que $\pi _1=\dots =\pi _{N_1}$ et $\pi _{N+1}= p\pi _N$ pour $N\ge N_1$. Ces considérations sont utilisées pour déterminer les points $S$-entiers sur les courbes elliptiques.
LA - fre
KW - periodicity; elliptic sequences; -integral points on elliptic curves
UR - http://eudml.org/doc/75013
ER -