# Périodicité (mod $q$) des suites elliptiques et points $S$-entiers sur les courbes elliptiques

• Volume: 43, Issue: 3, page 585-618
• ISSN: 0373-0956

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## Abstract

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Let $E$ be an elliptic curve defined over $ℚ$ by a generalized Weierstrass equation:${y}^{2}+{A}_{1}xy+{A}_{3}y={x}^{3}+{A}_{2}{x}^{2}+{A}_{4}x+{A}_{6};\phantom{\rule{2em}{0ex}}{A}_{i}\in ℤ.$Let $M=\left(a/{d}^{2},b/{d}_{3}\right)$, with $\left(a,d\right)=1$, be a rational point on this curve. For every integer $m$, we express the coordinates of $mM$ in the form:$mM=\left(\frac{{\phi }_{m}\left(M\right)}{{\psi }_{n}^{2}\left(m\right)},\frac{{\omega }_{m}\left(M\right)}{{\psi }_{m}^{3}\left(M\right)}\right)=\left(\frac{{\stackrel{^}{\phi }}_{m}}{{d}^{2}{\stackrel{^}{\psi }}_{m}^{2}},\frac{{\stackrel{^}{\omega }}_{m}}{{d}^{3}{\stackrel{^}{\psi }}_{m}^{3}}\right),$where ${\phi }_{m},\psi _m,{\omega }_{m}\in ℤ\left[{A}_{1},\cdots ,{A}_{6},x,y\right]$ and ${\stackrel{^}{\phi }}_{m}$, ${\stackrel{^}{\psi }}_{m}$, ${\stackrel{^}{\omega }}_{m}$ are obtained from these by multiplying by appropriate powers of $d$.Let $p$ be a rational odd prime and suppose that $M\phantom{\rule{3.33333pt}{0ex}}\left(\mathrm{mod}\phantom{\rule{0.166667em}{0ex}}p\right)$ is non singular and that the rank of apparition of $p$ in the sequence of integer $\left({\stackrel{^}{\psi }}_{m}\right)$ is at least equal to three. Denote this rank by $r=r\left(p\right)$ and let ${\nu }_{p}\left({\stackrel{^}{\psi }}_{r}\right)={e}_{0}\ge 1$. We show that the sequence $\left({\stackrel{^}{\psi }}_{m}\right)$ is periodic (mod ${p}^{N}$) for every $N\ge 1$. Denote this period by ${\Pi }_{N}$, then there exists a rank ${N}_{1}$ effectively computable, $1\le {N}_{1}\le {e}_{0}$, such that ${\pi }_{1}=\cdots ={\pi }_{{N}_{1}}$ and ${\pi }_{N+1}=p{\pi }_{N}$ for $N\ge {N}_{1}$. These considerations are used to find $S$-integral points on elliptic curves.

## How to cite

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Ayad, Mohamed. "Périodicité (mod $q$) des suites elliptiques et points $S$-entiers sur les courbes elliptiques." Annales de l'institut Fourier 43.3 (1993): 585-618. <http://eudml.org/doc/75013>.

abstract = {Soit $E$ une courbe elliptique sur $\{\Bbb Q\}$ par un modèle de Weierstrass généralisé :\begin\{\}y^2+A\_1 xy+A\_3 y= x^3+A\_2 x^2+ A\_4 x+A\_6; \qquad A\_i\in \{\Bbb Z\}.\end\{\}Soit $M=(a/d^2,b/d_3)$ avec $(a,d)=1$, un point rationnel sur cette courbe. Pour tout entier $m$, on exprime les coordonnées de $mM$ sous la forme :\begin\{\}mM= \left( \{\{\varphi \_m(M)\} \over \{\psi ^2\_n(m)\}\}, \{\{\omega \_m(M)\} \over \{\psi ^ 3\_m(M)\}\} \right)= \left( \{\{\widehat\{\varphi \}\_m\} \over \{d^2\widehat\{\psi \}^2\_ m\}\}, \{\{\widehat\{\omega \}\_m\} \over \{d^3 \widehat\{\psi \}^3\_ m\}\} \right),\end\{\}où $\varphi _m, \psi \_ m, \omega _ m\in \{\Bbb Z\}[A_1, \dots , A_6,x,y]$ et $\widehat\{\varphi \}_m$, $\widehat\{\psi \}_m$, $\widehat\{\omega \}_m$ sont déduits par multiplication par des puissances convenables de $d$.Soit $p$ un nombre premier impair et supposons que $M~(\{\rm mod\}\,p)$ est non singulier et que le rang d’apparition de $p$ dans la suite d’entiers $(\widehat\{\psi \}_m)$ est supérieur ou égal à trois. Notons ce rang par $r=r(p)$ et soit $\nu _ p(\widehat\{\psi \}_r)=e_0\ge 1$. Nous montrons que la suite $(\widehat\{\psi \}_m)$ est périodique (mod $p^N$) pour tout $N\ge 1$. Notons cette période par $\pi _N$, alors il existe un rang $N_1$ effectivement calculable, avec $1\le N_1\le e_ 0$, tel que $\pi _1=\dots =\pi _\{N_1\}$ et $\pi _\{N+1\}= p\pi _N$ pour $N\ge N_1$. Ces considérations sont utilisées pour déterminer les points $S$-entiers sur les courbes elliptiques.},
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ER -

## References

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