Crible et 3-rang des corps quadratiques

Karim Belabas

Annales de l'institut Fourier (1996)

  • Volume: 46, Issue: 4, page 909-949
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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Call h 3 * ( Δ ) the number of cube roots of unity in the class group of ℚ ( Δ ) , where Δ is a fundamental discriminant. Davenport and Heilbronn computed the mean value of these numbers when Δ tends to ± ∞ . The author gives a general geometric argument yielding an explicit bound for the error term, with the additional possibility of restricting Δ to arithmetic progressions. Sieve techniques then produce results about the 3-parts of the groups Cl ( ℚ ( Δ ) ) , where P k is an almost-prime of order k . In this way, one controls simultaneously both the 2-rank and the 3-rank of the class group Cl ( ℚ ( Δ ) ) . As a special case, the author gives a bound for the mean 3-rank of the ℚ ( ± p ) , where p is prime.

How to cite

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Belabas, Karim. "Crible et 3-rang des corps quadratiques." Annales de l'institut Fourier 46.4 (1996): 909-949. <http://eudml.org/doc/75206>.

@article{Belabas1996,
abstract = {Considérons le cardinal $h^*_3(\Delta )$ de l’ensemble des racines cubiques de l’unité dans le groupe des classes de $\{\Bbb Q\}(\sqrt\{\Delta \})$, où $\Delta $ est un discriminant fondamental. Un résultat de Davenport et Heilbronn calcule la valeur moyenne de ces nombres quand $\Delta $ varie. On obtient ici géométriquement une borne explicite pour le reste, avec la possibilité supplémentaire de restreindre les $\Delta $ à des progressions arithmétiques. Des techniques de crible permettent alors d’évaluer la 3-partie des $\{\Bbb Q\}(\sqrt\{\pm P_k\})$, où $P_k$ est pseudo-premier d’ordre $k$. On contrôle ainsi simultanément le 2-rang et le 3-rang du groupe des classes $\{\rm Cl\}(\{\Bbb Q\}(\sqrt\{\Delta \}))$. L’auteur donne en particulier une borne pour le 3-rang en moyenne des $\{\Bbb Q\}(\sqrt\{\pm p\})$, où $p$ est premier.},
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publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
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TY - JOUR
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VL - 46
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SP - 909
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LA - fre
KW - lattice points; quadratic extensions; class groups; 3-rank; sieve
UR - http://eudml.org/doc/75206
ER -

References

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