Sur le schéma de Hilbert des courbes gauches de degré d et genre g = ( d - 3 ) ( d - 4 ) / 2

Samir Ait Amrane

Annales de l'institut Fourier (2000)

  • Volume: 50, Issue: 6, page 1671-1707
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

top
In this paper, we study the Hilbert scheme H d , g of space curves (of pure dimension one and without embedded points) of degree d ≥ 4 and genus g = ( d - 3 ) ( d - 4 ) / 2 , which corresponds to the biggest value of the genus for which the study of H d , g is nontrivial. We first give for each d all Rao modules of curves of H d , g and its subschemes with constant cohomology, and we describe the generic curve of each of these subschemes. Next, we deduce the irreducible components and the dimension of H d , g . Finally, the hardest part of this paper consists in the study of all possible specializations between the subschemes of H d , g with constant cohomology, using the concept of triad recently introduced by R. Hartschorne, M. Martin-Deschamps and D. Perrin. In particular, we establish the connectedness of the Hilbert scheme H d , g .

How to cite

top

Amrane, Samir Ait. "Sur le schéma de Hilbert des courbes gauches de degré $d$ et genre $g=(d-3)(d-4)/2$." Annales de l'institut Fourier 50.6 (2000): 1671-1707. <http://eudml.org/doc/75468>.

@article{Amrane2000,
abstract = {Dans cet article, nous étudions le schéma de Hilbert $H_\{d,g\}$ des courbes gauches (de pure dimension 1 et sans points immergés) de degré $d\ge 4$ et genre $g=(d-3)(d-4)/2$, qui est le plus grand genre pour lequel l’étude de $H_\{d,g\}$ est non triviale. Nous commençons par donner, pour chaque valeur de $d$, tous les modules de Rao des courbes de $H_\{d,g\}$ et ses sous-schémas à cohomologie constante, et nous décrivons la courbe générique de chacun de ces sous-schémas. Nous déduisons ensuite les composantes irréductibles et la dimension de $H_\{d,g\}$. Enfin, la partie la plus difficile de cet article consiste à étudier toutes les spécialisations possibles entre les différents sous-schémas à cohomologie constante de $H_\{d,g\}$ en utilisant la notion de triade récemment introduite par R. Hartschorne, M. Martin-Deschamps et D. Perrin, ce qui permet notamment de montrer la connexité de $H_\{d,g\}$.},
author = {Amrane, Samir Ait},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {space curves; Hilbert scheme; parametrization; Rao module; triad; extremal curve; connectedness},
language = {fre},
number = {6},
pages = {1671-1707},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Sur le schéma de Hilbert des courbes gauches de degré $d$ et genre $g=(d-3)(d-4)/2$},
url = {http://eudml.org/doc/75468},
volume = {50},
year = {2000},
}

TY - JOUR
AU - Amrane, Samir Ait
TI - Sur le schéma de Hilbert des courbes gauches de degré $d$ et genre $g=(d-3)(d-4)/2$
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 2000
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 50
IS - 6
SP - 1671
EP - 1707
AB - Dans cet article, nous étudions le schéma de Hilbert $H_{d,g}$ des courbes gauches (de pure dimension 1 et sans points immergés) de degré $d\ge 4$ et genre $g=(d-3)(d-4)/2$, qui est le plus grand genre pour lequel l’étude de $H_{d,g}$ est non triviale. Nous commençons par donner, pour chaque valeur de $d$, tous les modules de Rao des courbes de $H_{d,g}$ et ses sous-schémas à cohomologie constante, et nous décrivons la courbe générique de chacun de ces sous-schémas. Nous déduisons ensuite les composantes irréductibles et la dimension de $H_{d,g}$. Enfin, la partie la plus difficile de cet article consiste à étudier toutes les spécialisations possibles entre les différents sous-schémas à cohomologie constante de $H_{d,g}$ en utilisant la notion de triade récemment introduite par R. Hartschorne, M. Martin-Deschamps et D. Perrin, ce qui permet notamment de montrer la connexité de $H_{d,g}$.
LA - fre
KW - space curves; Hilbert scheme; parametrization; Rao module; triad; extremal curve; connectedness
UR - http://eudml.org/doc/75468
ER -

References

top
  1. [AA] S. AIT AMRANE, Sur le schéma de Hilbert des courbes gauches de degré d et genre g = (d-3)(d-4)/2, Thèse de l'Université Paris-Sud, Décembre 1998. Zbl0916.14014
  2. [E] Ph. ELLIA, On the cohomology of projective space curves, Bolletino U.M.I., (7), 9-A (1995), 593-607. Zbl0866.14020MR96k:14022
  3. [BS] D. BAYER et M. STILLMAN, Macaulay : A system for computation in algebraic geometry and commutative algebra. 
  4. [EGA I] A. GROTHENDIECK et J. DIEUDONNÉ, Éléments de géométrie algébrique, I, Grundlehren 166, Springer Verlag, Heidelberg, 1971. Zbl0203.23301
  5. [Eis] D. EISENBUD, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Springer Verlag, New York, 1995. Zbl0819.13001
  6. [Hal] G. HALPHEN, Mémoire sur la classification des courbes gauches algébriques, Journal de l'École Polytechnique, 52e cahier, 1882-Œuvres complètes, t. 3, Gauthiers-Villars éditeur, Paris, 1921, p. 261-455. 
  7. [H] R. HARTSHORNE, Algebraic Geometry, Springer Verlag, 1977. Zbl0367.14001MR57 #3116
  8. [HMDP1] R. HARTSHORNE, M. MARTIN-DESCHAMPS et D. PERRIN, Un théorème de Rao pour les familles de courbes gauches, rapport de recherche du LMENS 97-15, 1997. 
  9. [HMDP2] R. HARTSHORNE, M. MARTIN-DESCHAMPS et D. PERRIN, Construction de familles minimales de courbes gauches, rapport de recherche du LMENS 97-29, 1997. Zbl1021.14009MR2001g:14053
  10. [HMDP3] R. HARTSHORNE, M. MARTIN-DESCHAMPS et D. PERRIN, Triades et familles de courbes gauches, rapport de recherche du LMENS 97-33, 1997. Zbl1021.14009
  11. [MDP1] M. MARTIN-DESCHAMPS et D. PERRIN, Sur la classification des courbes gauches I, Astérisque, vol. 184-185 (1990). Zbl0717.14017MR91h:14039
  12. [MDP2] M. MARTIN-DESCHAMPS et D. PERRIN, Quand un morphisme de fibrés dégénère-t-il le long d'une courbe lisse ?, in Algebraic Geometry (P.E. Newstead ed.), Lecture Notes in pure and applied math., vol. 200, 1998, p. 119-167. Zbl0959.14017MR99i:14035
  13. [MDP3] M. MARTIN-DESCHAMPS et D. PERRIN, Sur les bornes du module de Rao, C.R. Acad. Sci. Paris, t. 137, série I, (1993), 1159-1162. Zbl0796.14029MR95e:14023
  14. [MDP4] M. MARTIN-DESCHAMPS et D. PERRIN, Le schéma de Hilbert des courbes gauches localement Cohen-Macaulay n'est (presque) jamais réduit, Ann. Scient. Éc. Norm. Sup., 4e série, t. 29 (1996), 757-785. Zbl0892.14005MR98a:14003
  15. [MDP5] M. MARTIN-DESCHAMPS et D. PERRIN, Sur les courbes gauches à modules de Rao non connexes, C.R. Acad. Sci. Paris, t. 319, Série I (1994), 233-236. Zbl0840.14017MR95j:14034
  16. [Mi] J. MIGLIORE, On linking double lines, Trans. A.M.S., vol. 294, n°1 (1986), 177-185. Zbl0596.14019MR87i:14028
  17. [N1] S. NOLLET, The Hilbert scheme of degree three curves, Ann. Scient. Éc. Norm. Sup., 30 (1997), 367-384. Zbl0892.14004MR99a:14003
  18. [N2] S. NOLLET, Subextremal curves, Manuscr. Math., 94 (1997), 303-317. Zbl0918.14014MR98m:14033

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.