Courbes lisses sur les surfaces rationnelles génériques : un lemme d'Horace différentiel

Thierry Mignon

Annales de l'institut Fourier (2000)

  • Volume: 50, Issue: 6, page 1709-1744
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

top
We prove a lemma to study the irreducibility and the smoothness (away from the prescribed singularities) of the generic plane curve of degree d passing through r generic points with prescribed multiplicities m 1 , ... , m r . This result rests on the “Horace’s method”, introduced by A. Hirschowitz. It is applied here to study the curves of genus at most 4 .

How to cite

top

Mignon, Thierry. "Courbes lisses sur les surfaces rationnelles génériques : un lemme d'Horace différentiel." Annales de l'institut Fourier 50.6 (2000): 1709-1744. <http://eudml.org/doc/75469>.

@article{Mignon2000,
abstract = {Nous démontrons un lemme permettant d’étudier l’irréductibilité et la lissité (hors des singularités prescrites) de la courbe plane générique de degré $d$ passant par $r$ points génériques avec des multiplicités $m_1,\ldots ,m_r$ fixées par avance. Ce lemme repose sur la “méthode d’Horace”, introduite par A. Hirschowitz. Il est appliqué ici à l’étude des courbes de genre inférieur ou égal à $4$.},
author = {Mignon, Thierry},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {differential Horace lemma; prescribed singularities; Picard group; cohomology groups of line bundles; plane curves; geometric genus},
language = {fre},
number = {6},
pages = {1709-1744},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Courbes lisses sur les surfaces rationnelles génériques : un lemme d'Horace différentiel},
url = {http://eudml.org/doc/75469},
volume = {50},
year = {2000},
}

TY - JOUR
AU - Mignon, Thierry
TI - Courbes lisses sur les surfaces rationnelles génériques : un lemme d'Horace différentiel
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 2000
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 50
IS - 6
SP - 1709
EP - 1744
AB - Nous démontrons un lemme permettant d’étudier l’irréductibilité et la lissité (hors des singularités prescrites) de la courbe plane générique de degré $d$ passant par $r$ points génériques avec des multiplicités $m_1,\ldots ,m_r$ fixées par avance. Ce lemme repose sur la “méthode d’Horace”, introduite par A. Hirschowitz. Il est appliqué ici à l’étude des courbes de genre inférieur ou égal à $4$.
LA - fre
KW - differential Horace lemma; prescribed singularities; Picard group; cohomology groups of line bundles; plane curves; geometric genus
UR - http://eudml.org/doc/75469
ER -

References

top
  1. [1] J. ALEXANDER, A. HIRSCHOWITZ, Un lemme d'Horace différentiel : application aux singularités hyperquartiques de ℙ5, J. Alg. Geom., 1 (1992), 411-426. Zbl0784.14001MR93e:14004
  2. [2] J. ALEXANDER, A. HIRSCHOWITZ, An asymptotic vanishing theorem for generic unions of multiple points, preprint alg-geom/9703037 (1997). Zbl0973.14026
  3. [3] E. ARBARALLO, M. CORNALBA, Footnotes to a paper of Benjamino Segre, Math. Ann., 256 (1981), 341-362. Zbl0454.14023
  4. [4] S. BOSSINI, Classification des courbes sur les surfaces rationnelles génériques, Algebraic Geometry, Europroj Conferences in Catania and Barcelona, Lecture Notes in Pure and Appl. Math. n° 200, 1998, 283-329. Zbl0942.14014MR99k:14060
  5. [5] C. CILIBERTO, R. MIRANDA, Degenerations of planar linear systems, J. reine angew. Math., (1998), 191-220. Zbl0943.14002MR2000m:14005
  6. [6] C. CILIBERTO, R. MIRANDA, Linear systems of plane curves with base points of equal multiplicity, preprint math.AG/9804018, to appear in Trans. Amer. Math. Soc., 1998. Zbl0959.14015
  7. [7] P. DELIGNE, D. MUMFORD, Irreducibility of the space of curves of given genus, Publ. Math. de l'IHES, 36 (1969), 75-109. Zbl0181.48803MR41 #6850
  8. [8] M. DEMAZURE, Surfaces de Del Pezzo, Séminaire sur les singularités des surfaces, Palaiseau (France), Lectures notes in Mathematics n° 777 (1977). Zbl0444.14024
  9. [9] L. EVAIN, Dimension des systèmes lineaires : une approche différentielle et combinatoire, preprint alg-geom/9709032, 1997. 
  10. [10] M. GREEN, R. LAZARSFELD, Deformation theory, generic vanishing theorems, and some conjectures of Enriques, Catanese and Beauville, Invent. Math., 90 (1987), 389-407. Zbl0659.14007MR89b:32025
  11. [11] G. M. GREUEL, C. LOSSEN, E. SHUSTIN, Plane curves of minimal degree with prescribed singularities, Invent. Math., 133, 3 (1998), 539-580. Zbl0924.14013MR99g:14035
  12. [12] A. GROTHENDIECK, Les schémas de Picard : théorèmes d'existence, technique de descente et théorèmes d'existence en géométrie algébrique, Séminaire Bourbaki, exposé 232 (1961-1962). Zbl0238.14014
  13. [13] A. GROTHENDIECK, Éléments de géométrie algébrique, Chap. IV, Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Publ. Math. de l'IHES, 24 (1965). Zbl0135.39701
  14. [14] A. GROTHENDIECK, Éléments de géométrie algébrique, Chap. IV, Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Publ. Math. de l'IHES, 32 (1966). Zbl0153.22301
  15. [15] B. HARBOURNE, The geometry of rational surfaces and Hilbert functions of points in the plane, Can. Math. Soc. Conf. Proc., 6 (1986), 95-111. Zbl0611.14002MR87k:14041
  16. [16] M. HEVELING, Courbes planes avec points à multiplicités imposées, rapport de stage de l'ENS Lyon, 1999. 
  17. [17] A. HIRSCHOWITZ, Rank techniques and jump stratifications, vector bundles on algebraic varieties, Proceedings Bombay 1984, Oxford University Press, 1987, 159-205. Zbl0682.14009MR88h:14012
  18. [18] A. HIRSCHOWITZ, Une conjecture pour la cohomologie des diviseurs sur les surfaces rationnelles génériques, J. reine angew. Math., 397 (1989), 208-213. Zbl0686.14013MR90g:14021
  19. [19] T. MIGNON, Systèmes linéaires de courbes planes, thèse, Université de Nice, 1997. 
  20. [20] T. MIGNON, Systèmes de courbes planes à singularités imposées : le cas des multiplicités inférieures ou égales à quatre, Prépublications de l'ENS Lyon 230, to appear in J. Pure Applied Alg., 2000. Zbl0977.14015MR2001g:14048
  21. [21] T. MIGNON, Intersection de courbes planes et constructions de courbes à singularités ordinaires, to appear in J. Pure Applied Alg., 2000. Zbl1027.14014
  22. [22] M. NAGATA, On rational surfaces II, Mem. Coll. Sci. Kyoto, XXXIII, Mathematics n° 2, 1960, 271-293. Zbl0100.16801MR23 #A3740
  23. [23] A. NOBILE, On families of singular plane projective curves, Annali di Matematica pura ed applicata (IV) CXXXVIII (1984), 341-378. Zbl0567.14019MR86f:14015
  24. [24] G. XU, Ample line bundles on smooth surfaces, J. reine angew. Math., 107 (1995), 99-209. Zbl0833.14028MR96k:14003

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.