Quelques propriétés arithmétiques des points de $3$-division de la jacobienne de $y^2=x^5-1$

Boxall, J., and Bavencoffe, E.. "Quelques propriétés arithmétiques des points de $3$-division de la jacobienne de $y^2 = x^5 - 1$." Journal de théorie des nombres de Bordeaux 4.1 (1992): 113-128. <http://eudml.org/doc/93550>.

@article{Boxall1992,
abstract = {Soit $C$ la courbe projective lisse et irréductible, définie sur $Q$, et dont un modèle affine est donné par $y^2 = x^5 - 1$. On désigne par $\infty $ l’unique point de $C$ qui n’est pas contenu dans cette partie affine. Soit $J$ la jacobienne de $C$ et soit $\phi : C^2 \longrightarrow J$ le morphisme associant à chaque couple $(\xi , \eta )$ de points de $C$ la classe du diviseur $[\xi ] + [\eta ] - 2[\infty ]$ dans Pic$_0 C$. Soient $u, v, f$ les trois fonctions rationnelles sur $J$ définies par\begin\{equation*\} \{\begin\{@align\}\{1\}\{-1\}u \circ \phi ( \xi , \eta ) & = x(\xi ) + x(\eta ),\\ v \circ \phi ( \xi , \eta ) & = x(\xi ) x(\eta ),\\ f & = -u + v + 1 \end\{@align\}\} \end\{equation*\}Le but de cet article est de montrer que pour tout point $P$ de $3$-division non nul de $J, u(P)$ et $v(P)$ sont des entiers algébriques et $f(P)/ \sqrt\{5\}$ est une unité. Nous expliciterons le corps engendré par ces valeurs ainsi que le polynôme minimal des $f(P)$.},
author = {Boxall, J., Bavencoffe, E.},
journal = {Journal de théorie des nombres de Bordeaux},
keywords = {3-divison points; Jacobian},
language = {fre},
number = {1},
pages = {113-128},
publisher = {Université Bordeaux I},
title = {Quelques propriétés arithmétiques des points de $3$-division de la jacobienne de $y^2 = x^5 - 1$},
url = {http://eudml.org/doc/93550},
volume = {4},
year = {1992},
}

TY - JOUR
AU - Boxall, J.
AU - Bavencoffe, E.
TI - Quelques propriétés arithmétiques des points de $3$-division de la jacobienne de $y^2 = x^5 - 1$
JO - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY - 1992
PB - Université Bordeaux I
VL - 4
IS - 1
SP - 113
EP - 128
AB - Soit $C$ la courbe projective lisse et irréductible, définie sur $Q$, et dont un modèle affine est donné par $y^2 = x^5 - 1$. On désigne par $\infty $ l’unique point de $C$ qui n’est pas contenu dans cette partie affine. Soit $J$ la jacobienne de $C$ et soit $\phi : C^2 \longrightarrow J$ le morphisme associant à chaque couple $(\xi , \eta )$ de points de $C$ la classe du diviseur $[\xi ] + [\eta ] - 2[\infty ]$ dans Pic$_0 C$. Soient $u, v, f$ les trois fonctions rationnelles sur $J$ définies par\begin{equation*} {\begin{@align}{1}{-1}u \circ \phi ( \xi , \eta ) & = x(\xi ) + x(\eta ),\\ v \circ \phi ( \xi , \eta ) & = x(\xi ) x(\eta ),\\ f & = -u + v + 1 \end{@align}} \end{equation*}Le but de cet article est de montrer que pour tout point $P$ de $3$-division non nul de $J, u(P)$ et $v(P)$ sont des entiers algébriques et $f(P)/ \sqrt{5}$ est une unité. Nous expliciterons le corps engendré par ces valeurs ainsi que le polynôme minimal des $f(P)$.
LA - fre
KW - 3-divison points; Jacobian
UR - http://eudml.org/doc/93550
ER -