Structures naturelles des demi-groupes et des anneaux réguliers ou involutés

Jean Calmes

Mathématiques et Sciences Humaines (1994)

  • Volume: 128, page 15-39
  • ISSN: 0987-6936

Abstract

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Some binary relations are defined on semigroups and semigroups with involutions. We show how they may order their elements : especially idempotents, regular elements in von Neumann's sense, elements that possess Moore-Penrose or pointwise inverses ; according to the nature of involutions as well. In these cases, the relations may coincide with the natural orders on the set of idempotents and on inverse semigroups, with the orders of Drazin and Hartwig; and so they extend them. We look for conditions of these ordering relations and for conditions of their compatibility and equality, on semigroups and rings but also on modules of matrices. The subject is included in the general theme of order sets and its applications in social sciences : we place emphasis on the possibility in data analysis to dispose of a rich network of binary relations, which are compatible with the positive-semi-definite order and possess close links with projections of different kinds.

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Calmes, Jean. "Structures naturelles des demi-groupes et des anneaux réguliers ou involutés." Mathématiques et Sciences Humaines 128 (1994): 15-39. <http://eudml.org/doc/94459>.

@article{Calmes1994,
abstract = {Certaines relations binaires sont définies sur les demi-groupes et les demi-groupes à involution. On examine comment elles peuvent en ordonner les éléments: notamment les idempotents, les éléments réguliers au sens de von Neumann, ceux qui possédent un inverse ponctuel ou de Moore-Penrose ; et en fonction aussi de conditions sur l'involution. Ces relations peuvent alors coïncider avec les ordres naturels des idempotents et des demi-groupes inverses, avec les ordres de Drazin et de Hartwig : elles en sont des extensions. On s'attache à définir sur les demi-groupes et les anneaux, mais aussi sur les modules de matrices, les conditions de ces ordres, celles de leur compatibilité et de leur égalité. Le sujet est inscrit dans le thème des ensembles ordonnés et ses applications aux sciences sociales : l'accent est mis sur la possibilité de disposer en Analyse de tableaux numériques d'un riche réseau de relations binaires, compatibles avec l'ordre semi-défini positif et présentant une affinité particulière avec les différentes formes de projections.},
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References

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  1. [1] Adkins W.A., Weintraub S.H., Algebra : an approach via module theory, New York, Springer Verlag,1992. Zbl0768.00003MR1181420
  2. [2] Barbut M., "Ensembles ordonnés", Rev. franç. Rech. Opération., 20 (1961), 175-198. 
  3. [3] Barbut M., Monjardet B., Ordre et classification, Algèbre et combinatoire, Paris, Hachette,1970. Zbl0267.06001
  4. [4] Berberian S.K., Baer *-rings, Berlin, Springer Verlag,1972. Zbl0242.16008MR429975
  5. [5] Berberian S.K., "The regular ring of a finite Baer *-ring ", J. Alg., 23 (1972), 35-65. Zbl0243.16008MR308179
  6. [6] Birkhoff G., Lattice theory, Providence, Amer. Math. Soc.,1967. Zbl0153.02501MR227053
  7. [7] Birkhoff G., Von Neumann J., "The logic of quantum mechanics", Ann. of Math., 37 (1936), 823-842. Zbl0015.14603JFM62.1061.04
  8. [8] Boyd J.P., "Structural similarity, semi groups and idempotents", Social networks, 5 (1983), 157-182. MR718090
  9. [9] Clifford A., Preston G., The algebraic theory of semigroups, Providence, Amer. Math. Soc. , 1961 (vol. I),1967 (vol. II). Zbl0178.01203
  10. [10] Degenne A., "Un domaine d'interaction entre les mathématiques et les sciences sociales: les réseaux sociaux", Math. Inf. Sci. hum., 104 (1988), 5-18. Zbl0666.92018MR989253
  11. [11] Deheuvels R., Formes quadratiques et groupes classiques, Paris, Presses Universitaires de France,1981. Zbl0467.15015MR657579
  12. [12] Drazin M.P., "Natural structures on semigroups with involution", Bul. Amer. Math. Soc., 84 (1978), 139-141. Zbl0395.20044MR486234
  13. [13] Foulis D.J., "Relative inverses in Baer *-semigroups", Michigan Math. J.,10 (1963), 65-85. Zbl0116.25404MR154939
  14. [ 14] Gaffke N., Krafft O., "Matrix inequalities in the LÖwner ordering", in KORTE B, Modern applied mathematics : optimization and operations research, Amsterdam, North Holland, 1982, pp. 595-622. Zbl0495.15012MR663205
  15. [15] Guénoche A., Monjardet B., "Méthodes ordinales et combinatoires en analyse des données", Math. Sci. hum., 100 (1987), 5-47. Zbl0641.68031MR941908
  16. [16] Hartwig R.E., "How to partially order regular elements", Math. Japonica, 25 (1980), 1-13. Zbl0442.06006MR571255
  17. [17] Hartwig R.E., Styan G.P.H., "On some characterizations of the star partial ordering for matrices and rank subtractivity", Linear Alg. Appl., 82 (1986),145-161. Zbl0603.15001MR858968
  18. [18] Kaplansky L., Rings of operators, New-York, W.A. Benjamin Inc.,1968. Zbl0174.18503MR244778
  19. [19] Lesieur L., Tenam R., Lefebvre J., Compléments d'algèbre linéaire, Paris, Armand Colin,1978. Zbl0398.15002
  20. [20] Mac Coy N.E., The theory of rings, New York, Mc Millan,1966. 
  21. [21] Mallol C., Olivier J.-P., Serrato D., "Groupoïds, idempotents and pointwise inverses in relational categories", J. Pure Appl. Alg., 36 (1985), 23-51. Zbl0555.18002MR782638
  22. [22] Marshall A., Olkin I., Inequalities : Theory of majorization and its applications, New York, Academic Press, 1979. Zbl0437.26007MR552278
  23. [23] Mitra S.K., "Generalized inverse of matrices and applications to linear models ", in KRISHNAIAH P.R., Handbook of Statistics, vol. 1, Amsterdam, North Holland, 1980, pp. 471-512. Zbl0465.62055
  24. [24] Mitsch H., "Inverse semigroups and their natural order", Bull. Austral. Math. Soc., 19 (1978), 59-65. Zbl0386.20044MR522180
  25. [25] Nashed M., Votruba G., "An unified approach to generalized inverses of linear operators : I Algebraic, topological and projectional properties ", Bull. Amer. Math. Soc., 80 (1974), 825-830. Zbl0289.47011MR365190
  26. [26] Nashed M., Votruba G., "An unified approach to generalized inverses of linear operators : II External and proximal properties", Bull. Amer. Math. Soc., 80 (1974), 831-835. Zbl0289.47011MR365191
  27. [27] Nordstrom K., "Some further aspects of the Lowner-ordering antitonicity of the Moore-Penrose inverse", Comm. Statist. Theory Meth., 18, 12 (1989), 4471-4489. Zbl0707.62096MR1046720
  28. [28] Petit J.-L., Terouanne E., "Balayage et cumul", in Séminaire Math. & Info. appl., Montpellier, Université Paul Valéry,1992, pp. 24-56. 
  29. [29] Petrich M., Inverse semigroups, New York, Wiley,1984. Zbl0546.20053MR752899
  30. [30] Pollock D.S., The algebra of econometrics, New York, Wiley,1979. MR558960
  31. [31] Prijatelj N., Vidav I., "On special *-regular rings", Michigan Math. J., 18 (1971), 213-221. Zbl0216.33402MR283024
  32. [32] Rao C.R., Mitra S.K., Generalized inverse of matrices and its applications, New York, Wiley, 1971. Zbl0236.15004MR338013
  33. [33] Rao C.R., Yanai H., "General definition and decomposition of projectors and some applications to statistical problems", J. Statist. Plan. Inference, 3 (1979),1-17. Zbl0427.62046MR529869
  34. [34] Schein B.M., "Regular elements of the semigroup of all binary relations", Semigroup forum,13 (1976), 95-102. Zbl0355.20058MR432790
  35. [35] Timm N.H., Multivariate analysis with applications in education and psychology, Monterey (Californie), Brooke-Cole, 1975. MR443216
  36. [36] Von Neumann J., "On regular rings", Proc. of the National Acad. of Sci. U.S.A., 22 (1936), 296-300. Zbl0015.38802JFM62.1103.03
  37. [37] Yanai H., "Some generalized forms of least squares g-inverses, minimum norm g-inverse, and Moore-Penrose inverse matrices", Comput. Statist. & Data Anal.,10 (1990), 251-260. Zbl0825.62550MR1086039

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