Les équations d'évolution liées au produit de composition

Laurent Schwartz

Annales de l'institut Fourier (1950)

  • Volume: 2, page 19-49
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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Une équation d’évolution d’un système physique est une équation matricielle de la formeLorsque les coefficients ne dépendent que de , cette équation est un cas particulier de l’équation de composition qui, en termes de distributions, s’écrit :La méthode pour étudier une telle équation est la transformation de Fourier effectuée pour tout sur la variable spatiale seule. On trouve ainsi que le problème de Cauchy relatif aux données initiales pour n’a jamais plus d’une solution tempérée et on obtient aussi la condition nécessaire et suffisante pour qu’il en ait une. Dans ce cas, il existe une matrice résolvante et la solution d’un problème de Cauchy est donné parCette méthode est appliquée aux équations aux dérivées partielles classiques (équation de la chaleur, équation des ondes), dont on obtient aussitôt les solutions, et la solution élémentaire.

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Schwartz, Laurent. "Les équations d'évolution liées au produit de composition." Annales de l'institut Fourier 2 (1950): 19-49. <http://eudml.org/doc/73688>.

@article{Schwartz1950,
abstract = {Une équation d’évolution d’un système physique est une équation matricielle de la forme\begin\{\}\{\partial \over \partial t\}U(x,t) + \sum \_\{\vert p\vert \le m\}A\_p(x,t)D^p\_xU(x,t)=B(x,t).\end\{\}Lorsque les coefficients $A$ ne dépendent que de $t$, cette équation est un cas particulier de l’équation de composition qui, en termes de distributions, s’écrit :\begin\{\}\{d\over dt\}U\_x(t)+A\_x(t)^*\_\{(x)\}U\_x(t)=B\_x(t).\end\{\}La méthode pour étudier une telle équation est la transformation de Fourier effectuée pour tout $t$ sur la variable spatiale $x$ seule. On trouve ainsi que le problème de Cauchy relatif aux données initiales pour $t=0$ n’a jamais plus d’une solution tempérée et on obtient aussi la condition nécessaire et suffisante pour qu’il en ait une. Dans ce cas, il existe une matrice résolvante $R_x(t,\tau )$ et la solution d’un problème de Cauchy est donné par\begin\{\}U\_x(t)=R\_x(t,t\_0)^*\_\{(x)\}U\_x(t\_0)+ \int ^t\_\{t\_0\}(R\_x(t,\tau )^*\_\{(x)\}B\_x(\tau ))d\tau .\end\{\}Cette méthode est appliquée aux équations aux dérivées partielles classiques (équation de la chaleur, équation des ondes), dont on obtient aussitôt les solutions, et la solution élémentaire.},
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