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On présente quelques remarques sur l’axiomatique des fonctions harmoniques de M. Brelot. Ainsi, on montre qu’il est possible de remplacer dans l’axiome 3 l’ensemble ordonné filtrant des fonctions harmoniques par une suite monotone, et, s’il existe une fonction surharmonique positive alors : a) l’espace est la réunion d’un fermé polaire et d’un ouvert $\sigma$-compact ; b) l’espace possède une base dénombrable s’il est localement à base dénombrable ; c) l’ensemble des composants connexes non...

On démontre dans l’axiomatique de M. Brelot la linéarité de l’opération de balayage appliquée aux fonctions surharmoniques en utilisant seulement les axiomes 1, 2, 3, l’espace de base n’ayant pas nécessairement une base dénombrable.

Dans une axiomatique des fonctions harmoniques un peu plus générale que celle de H. Bauer, on démontre les relations suivantes : $$R_{s+t}^A=R_s^A+R_t^A,$$ $$R_s^{A\cup B}+R_s^{A\cap B}\le R_s^A+R_s^B,$$ $$A_n\uparrow A,S_n\uparrow s\Rightarrow R_{s_n}^{A_n}\uparrow R_s^A,$$ où $A$, $B$, $A_n$, (resp. $s$, $t$, $s_n$) sont des ensembles (resp. fonctions hyperharmoniques non-négatives) arbitraires. Les mêmes relations sont valables pour $\widehat{R}$. On démontre aussi que la relation $${\int }^{*}sd{\mu }^A={\int }^{*}{\widehat{R}}_s^{A}d\mu$$ a lieu si l’espace de base a une base dénombrable ou si l’axiome $D$ de M. Brelot est satisfait, $A$ étant contenu...

On généralise certains résultats contenus dans la thèse de Mme R.M. Hervé à une théorie axiomatique plus générale que celles introduites par M. Brelot et H. Bauer. L’espace de base n’est pas supposé avoir une base dénombrable ; il résulte des axiomes qu’il est localement connexe. On présente une étude détaillée de l’ordre spécifique, qui contient le théorème de partition et la propriété d’être complètement réticulé pour l’ensemble des différences de fonctions hyperharmoniques $\ge 0$. On introduit et...

The $H$-cone is an abstract model for the cone of positive superharmonic functions on a harmonic space or for the cone of excessive functions with respect to a resolvent family, having sufficiently many properties in order to develop a good deal of balayage theory and also to construct a dual concept which is also an $H$-cone. There are given an integral representation theorem and a representation theorem as an $H$-cone of functions for which fine topology, thinnes, negligible sets and the sheaf property...