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Let $ℳ$ be the Banach space of real measures on a $\sigma$-ring $\mathbf{R}$, let ${ℳ}^{\text{'}}$ be its dual, let $E$ be a quasi-complete locally convex space, let $E^{\text{'}}$ be its dual, and let $\mu$ be an $E$-valued measure on $\mathbf{R}$. If is shown that for any $\theta \in {ℳ}^{\text{'}}$ there exists an element $\int \theta d\mu$ of $E$ such that $⟨x^{\text{'}}\circ \mu ,\theta ⟩=⟨\int \theta d\mu ,x^{\text{'}}⟩$ for any $x^{\text{'}}\in E^{\text{'}}$ and that the map $$\theta \to \int \theta d\mu :{ℳ}^{\text{'}}\to E$$ is order continuous. It follows that the closed convex hull of $\mu \left(\mathbf{R}\right)$ is weakly compact.

On démontre plusieurs théorèmes concernant le balayage des mesures sur un espace harmonique satisfaisant aux axiomes de Bauer, parmi lesquels nous indiquons les suivants : a) la balayée ${\mu }_{A\cup B}$ d’une mesure $\mu$ sur la réunion ${\mu }^A\vee {\mu }^B$ (dans l’espace de Riesz de mesure) ; b) ${ϵ}_x^A\ne {ϵ}_x$ caractérise l’effilement de $A$ en $x$ ; c) il existe un potentiel fini et continue $p$ tel que pour tout ensemble $A\left\{x\right|{\widehat{R}}_p\left(x\right)\<p\left(x\right)\}$ est exactement l’ensemble des points où $A$ est effilé ; d) ${\mu }^A$ est portée par la fermeture fine de $A$ ; e) si $A$ et $B$ sont effilés en...

On présente quelques remarques sur l’axiomatique des fonctions harmoniques de M. Brelot. Ainsi, on montre qu’il est possible de remplacer dans l’axiome 3 l’ensemble ordonné filtrant des fonctions harmoniques par une suite monotone, et, s’il existe une fonction surharmonique positive alors : a) l’espace est la réunion d’un fermé polaire et d’un ouvert $\sigma$-compact ; b) l’espace possède une base dénombrable s’il est localement à base dénombrable ; c) l’ensemble des composants connexes non...

On démontre dans l’axiomatique de M. Brelot la linéarité de l’opération de balayage appliquée aux fonctions surharmoniques en utilisant seulement les axiomes 1, 2, 3, l’espace de base n’ayant pas nécessairement une base dénombrable.

Dans une axiomatique des fonctions harmoniques un peu plus générale que celle de H. Bauer, on démontre les relations suivantes : $$R_{s+t}^A=R_s^A+R_t^A,$$ $$R_s^{A\cup B}+R_s^{A\cap B}\le R_s^A+R_s^B,$$ $$A_n\uparrow A,S_n\uparrow s\Rightarrow R_{s_n}^{A_n}\uparrow R_s^A,$$ où $A$, $B$, $A_n$, (resp. $s$, $t$, $s_n$) sont des ensembles (resp. fonctions hyperharmoniques non-négatives) arbitraires. Les mêmes relations sont valables pour $\widehat{R}$. On démontre aussi que la relation $${\int }^{*}sd{\mu }^A={\int }^{*}{\widehat{R}}_s^{A}d\mu$$ a lieu si l’espace de base a une base dénombrable ou si l’axiome $D$ de M. Brelot est satisfait, $A$ étant contenu...

On généralise certains résultats contenus dans la thèse de Mme R.M. Hervé à une théorie axiomatique plus générale que celles introduites par M. Brelot et H. Bauer. L’espace de base n’est pas supposé avoir une base dénombrable ; il résulte des axiomes qu’il est localement connexe. On présente une étude détaillée de l’ordre spécifique, qui contient le théorème de partition et la propriété d’être complètement réticulé pour l’ensemble des différences de fonctions hyperharmoniques $\ge 0$. On introduit et...