Advanced Search

The rational completion $\overline{M}$ of an $R$-module $M$ can be characterized as a ${\tau }_M$-injective hull of $M$ with respect to a (hereditary) torsion functor ${\tau }_M$ depending on $M$. Properties of a torsion functor depending on an $R$-module $M$ are studied.

Si supponga che l'anello $𝐑$ ammetta una decomposizione come prodotto subdiretto $𝐑=\underset{\widetilde{\alpha \in 𝚲}}{\times }{𝐑}_{\alpha }$ di anelli ${𝐑}_{\alpha }\ne \mathrm{𝟎}$, tali che per ${𝐒}_{\alpha }=𝐑\cap {𝐑}_{\alpha }$ si abbia ${Ann}_{{𝐑}_{\alpha }}{𝐒}_{\alpha }=\mathrm{𝟎}$ ($\forall \alpha \in A$), e sia $𝐒={\oplus }_{\alpha \in 𝐀}{𝐒}_{\alpha }$. Si scelga un $𝐑$-modulo (destro) $𝐌$ che sia libero da torsione rispetto ad $𝐒$, cioè ${Ann}_{𝐌}𝐒=\mathrm{𝟎}$; allora $𝐌$ può essere rappresentato come prodotto subdiretto irridondante $𝐌\cong \underset{\widetilde{\alpha \in 𝚲}}{\times }{𝐌}_{\alpha }$ degli ${𝐑}_{\alpha }$-moduli ${𝐌}_{\alpha }$ liberi da torsione rispetto ad ${𝐒}_{\alpha }$. Si fa uno studio di un subprodotto generale di una classe $𝐂$ di $𝐑$-moduli ${𝐌}^{(𝐢)}$ $(i\in I)$, dove $𝐂$ è determinato per mezzo di epimorfismi e relazioni.

Si considerano le estensioni chiuse $B$ di un $R$-modulo $A$ mediante un $R$-modulo $C$ nel caso in cui $R$ sia un anello semi-artiniano, cioè un anello $R$ con la proprietà che per ogni quoziente $(R{/}_I)\ne 0$ sia soc $(R/I)\ne 0$. Tali estensioni sono caratterizzate dal fatto che $A$ deve essere un sottomodulo semi-puro di $B$.

The rational completion $\overline{M}$ of an $R$-module $M$ can be characterized as a ${\tau }_M$-injective hull of $M$ with respect to a (hereditary) torsion functor ${\tau }_M$ depending on $M$. Properties of a torsion functor depending on an $R$-module $M$ are studied.

Si considerano le estensioni chiuse $B$ di un $R$-modulo $A$ mediante un $R$-modulo $C$ nel caso in cui $R$ sia un anello semi-artiniano, cioè un anello $R$ con la proprietà che per ogni quoziente $(R{/}_I)\ne 0$ sia soc $(R/I)\ne 0$. Tali estensioni sono caratterizzate dal fatto che $A$ deve essere un sottomodulo semi-puro di $B$.

Si supponga che l'anello $𝐑$ ammetta una decomposizione come prodotto subdiretto $𝐑=\underset{\widetilde{\alpha \in 𝚲}}{\times }{𝐑}_{\alpha }$ di anelli ${𝐑}_{\alpha }\ne \mathrm{}$, tali che per ${𝐒}_{\alpha }=𝐑\cap {𝐑}_{\alpha }$ si abbia ${Ann}_{{𝐑}_{\alpha }}{𝐒}_{\alpha }=\mathrm{}$ ($\forall \alpha \in A$), e sia $𝐒={\oplus }_{\alpha \in 𝐀}{𝐒}_{\alpha }$. Si scelga un $𝐑$-modulo (destro) $𝐌$ che sia libero da torsione rispetto ad $𝐒$, cioè ${Ann}_{𝐌}𝐒=\mathrm{}$; allora $𝐌$ può essere rappresentato come prodotto subdiretto irridondante $𝐌\cong \underset{\widetilde{\alpha \in 𝚲}}{\times }{𝐌}_{\alpha }$ degli ${𝐑}_{\alpha }$-moduli ${𝐌}_{\alpha }$ liberi da torsione rispetto ad ${𝐒}_{\alpha }$. Si fa uno studio di un subprodotto generale di una classe $𝐂$ di $𝐑$-moduli ${𝐌}^{(𝐢)}$ $(i\in I)$, dove $𝐂$ è determinato per mezzo di epimorfismi e relazioni.

In una somma diretta finita di moduli, i sottomoduli possono costruirsi usando certi omomorfismi e certe equazioni. Nel presente lavoro si studiano quei sottomoduli che possono ottenersi in modo simile in un prodotto infinito di moduli.