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On considère un opérateur $L$ défini par $$Lu=\sum _{i=1}^n{D}_i{\mathbf{P}}_{i,p}\left(u\right)-\sum _{k=1}^N{D}_t[{\alpha }_{p,k}{u}_k]$$ où $u$ est une application de $\bar{\Omega }\times [0,T]$ dans ${\mathbf{R}}^N$ ($\Omega$ ouvert quelconque de $R^n$), ${\mathbf{P}}_{i,p}\left(u\right)$ $(1\le i\le n;1\le p\le N)$ sont des opérateurs du premier ordre ${\mathbf{P}}_{i,p}\left(u\right)={\sum }_{j,k}{a}_{ijk}^p{D}_j{u}_k$ dans le cas linéaire), ${\alpha }_{pk}$ et $a_{ijk}^p$ sont des fonctions non nécessairement bornées de $\bar{\Omega }\times [0,T]$. On démontre, sous certaines hypothèses, que les solutions de $-2uLu\le c_1{u}^2+\mu {\sum }_{i,p}{D}_i{u}_p.{\mathbf{P}}_{i,p}\left(u\right)$ ($c_1$ fonction de $\bar{\Omega }\times [0,T]$, $\mu$ constante positive inférieure à 2), vérifient : $t\to {\int }_{\Omega }{\Phi }^2{\alpha }_{p,k}{u}_p.u_{k}dx$ est décroissante (${\Phi }^2$ fonction poids convenablement choisie). De ce résultat, on obtient des théorèmes...