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Soit $F$ un sous-ensemble compact de ${\mathbf{R}}^m$ ayant des points intérieurs et soit ${\mu }_{\alpha }^F$ la distribution d’équilibre sur $F$ de masse totale 1 par rapport au noyau $r^{\alpha -m}$ avec $0\<\alpha \<2$ pour $m\ge 2$, et $0\<\alpha \<1$ pour $m=1$. La restriction de ${\mu }_{\alpha }^F$ à l’intérieur de $F$ est absolument continue et a pour densité $f_{\alpha }^F$. On donne une formule explicite pour $f_{\alpha }^F$ et, pour une classe générale d’ensembles $F$, on démontre que $f_{\alpha }^F$, définie en réalité sur un ensemble de mesure de Lebesgue nulle, croît comme la distance à la frontière $\partial F$ de $F$ élevée à la puissance $\left(-\frac{\alpha }{2}\right)$, quand...

Let ⨍ be an analytic function on a compact subset K of the complex plane ℂ, and let $r_n\left(z\right)$ denote the rational function of degree n with poles at the points ${b_{ni}}_{i=1}^n$ and interpolating ⨍ at the points ${a_{ni}}_{i=0}^n$. We investigate how these points should be chosen to guarantee the convergence of $r_n$ to ⨍ as n → ∞ for all functions ⨍ analytic on K. When K has no “holes” (see [8] and [3]), it is possible to choose the poles ${b_{ni}}_{i,n}$ without limit points on K. In this paper we study the case of general compact sets K, when such a separation...

The classical Whitney extension theorem states that every function in Lip$(\beta ,F)$, $F\subset {\mathbf{R}}^n$, $F$ closed, $k\<\beta \le k+1$, $k$ a non-negative integer, can be extended to a function in Lip$(\beta ,{\mathbf{R}}^n)$. Her Lip$(\beta ,F)$ stands for the class of functions which on $F$ have continuous partial derivatives up to order $k$ satisfying certain Lipschitz conditions in the supremum norm. We formulate and prove a similar theorem in the $L^p$-norm. The restrictions to ${\mathbf{R}}^d$, $d\<n$, of the Bessel potential spaces in ${\mathbf{R}}^n$ and the Besov or generalized Lipschitz spaces in...