Advanced Search

In questa Nota preventiva si tratta della stabilità dinamica del problema 0.1, 0.2 (0.3), 0.4, 0.5 rispetto alle condizioni iniziali della soluzione banale e degli stati stazionari $u_n(x,\lambda )$. Si dànno condizioni necessarie e sufficienti per la stabilità dinamica.

Sia ${\{{\psi }_i\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ una base ortonormale completa di uno spazio di Hilbert separabile $H$, e $V^N\subset H$ il sottospazio generato da $\{{\psi }_1,{\psi }_2\mathrm{\cdots }{\psi }_N\}$. Sia $\mathrm{\Phi }(u)$ $u\in H$ un funzionale pari limitato inferiormente di classe ${𝒞}^2$ e $\tilde{S}=\{v\in H\mid \parallel v\parallel =1,\text{con i punti antipodali identificati}\}$. Si dimostra che, se $(\tilde{S},\mathrm{\Phi })$ soddisfa la condizione di Palais-Smale, allora $c_1^N(\mathrm{\Phi })\to c_1,(\mathrm{\Phi })$, quando $N\to +\mathrm{\infty }$, dove $$c_1^N(\mathrm{\Phi })=\underset{\begin{array}{c}\mathrm{cat}(A)\ge 1\\ A\subset \tilde{S}\end{array}}{inf}sup\{\phi (u)\mid u\in A\cap V^N\}\mathit{\hspace{1em}}e\mathit{\hspace{1em}}{c}_1(\psi )=\underset{\begin{array}{c}\mathrm{cat}(A)\ge 1\\ A\subset \tilde{S}\end{array}}{inf}sup\{\phi (u)\mid u\in A\}.$$