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I sottogruppi massimali del gruppo di Mathieu $M_{24}$ furono determinati da Choi [3] nel 1967: egli raccolse una gran quantità di informazioni sul sistema di Steiner S(5, 8, 24). Qui si mostra che la quantità di informazioni sulla geometria di S(5, 8, 24) necessaria per determinare i sottogruppi massimali di $M_{24}$ è molto minore di quella raccolta in [3].

Siano $S_n$ e $A_n$ rispettivamente il gruppo simmetrico e il gruppo alterno su $n$ lettere, e sia $G$ un sottogruppo di $S_n$. Per le seguenti coppie $(G,n)$, se $G\subseteq H\subseteq S_n$, si ha che o $H\subseteq AutG$ o $H\supseteq A_n$. (i) $G$ è il gruppo semplice eccezionale scoperto da Higman e Sims, e n=100; (ii) $G$ è come in (i), e n=176; (iii) $G$ è il gruppo semplice eccezionale scoperto da McLaughlin, e n=275; (iv) $G$ è il più piccolo gruppo semplice eccezionale scoperto da Conway, e n=276; (v) $G$ è $PS{U}_4(3^2)$, e n=112.