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Soient $M$ une variété de Shimura, $Z\subset M$ fermée et irréductible et $S\subset Z\left(ℂ\right)$ un ensemble Zariski dense de points spéciaux. Selon la conjecture d’André–Oort, $Z$ est une sous-variété de type Hodge. Par exemple, si $M$ est un espace de modules de variétés abéliennes, $S$ est un ensemble de points correspondant à des variétés de type CM et $Z$ doit paramétrer des variétés abéliennes munies de certaines classes de Hodge. En utilisant les actions de l’algèbre de Hecke et du groupe de Galois, Edixhoven et Yafaev montrent certains...

Soient $X$ une variété abélienne sur un corps de nombres $E$ et $G$ son groupe de Mumford–Tate. Soit $v$ une valuation de $E$ et pour tout nombre premier $\ell$ tel que $v\left(\ell \right)=0$, soit $F_{\ell }\in G({\mathbf{Q}}_{\ell })$ l’automorphisme de Frobenius (géométrique) de la cohomologie étale $\ell$-adique de $X$. On montre que si $X$ a une bonne réduction en $v$, alors il existe $F\in G\left(\mathbf{Q}\right)$ tel que, pour tout $\ell$, $F_{\ell }$ soit conjugué à $F$ dans $G\left({\mathbf{Q}}_{\ell }\right)$. On montre un résultat analogue pour le frobenius de la cohomologie cristalline de la réduction de $X$ modulo $v$.