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In questa Nota è dimostrato un teorema di punto fìsso in uno spazio di Banach X nel caso che una famiglia di trasformazioni di X di sè stessa.

Si studia il comportamento asintotico delle soluzioni di un’equazione differenziale nonlineare $$x^{(n)}(t)+\delta f(t,x\left[g_1(t)\right],\mathrm{\cdots },x\left[g_m(t)\right])=h(t),\delta =\pm 1$$ sotto particolari ipotesi.

We consider the second order parabolic partial differential equation    ${\sum }_{i,j=1}^n{a}_{ij}(x,t)u_{x_i{x}_j}+{\sum }_{i=1}^n{b}_i(x,t)u_{x_i}+c(x,t)u-u_t=0$. Sufficient conditions are given under which every solution of the above equation must decay or tend to infinity as |x|→ ∞. A sufficient condition is also given under which every solution of a system of the form    $L^{\alpha }\left[u^{\alpha }\right]+{\sum }_{\beta =1}^N{c}^{\alpha \beta }(x,t)u^{\beta }=f^{\alpha }(x,t)$, where    $L^{\alpha }\left[u\right]\equiv {\sum }_{i,j=1}^n{a}_{ij}^{\alpha }(x,t)u_{x_i{x}_j}+{\sum }_{i=1}^n{b}_i^{\alpha }(x,t)u_{x_i}-u_t$, must decay as t → ∞.

Gli Autori estendono in questa Nota un risultato di W. T. Patula relativo all'equazione differenziale ordinaria, non lineare $$L_{n}x(t)+\sum _{i=1}^m{p}_i(t)x(t)f_i(x(t))=q(t)$$ dove l'operatore $L_j$ è definito della formula ricorrente $$L_{0}x(t)=x(t),L_{j}x(t)=\frac{1}{r_j(t)}\frac{d}{dt}{L}_{j-1}x(t),j=1,\mathrm{\cdots },n,r_n(t)=1.$$

Gli Autori trovano un teorema di confronto tra gli integrali oscillatori di due equazioni funzionali ordinarie.

Gli Autori estendono ad un'equazione differenziale di ordine n con argomenti ritardati alcuni risultati di A. G. Kartsatos e H. Onose.

Gli Autori dànno condizioni sufficienti che assicurano il carattere oscillatorio, o la limitatezza di tutte le soluzioni dell'equazione funzionale differenziale $$L_{n}x(t)+H(t;x[g_1(t)],\mathrm{\cdots },x[g_m(t)])=Q(t).$$

Questa Nota estende precedenti risultati di altri e degli stessi Autori ad alcune classi di disequazioni differenziali.

Si dà una condizione necessaria perché le soluzioni di un'equazione differenziale funzionale non lineare di ordine n, con argomento ritardato, siano nonoscillatorie e limitate.