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Si considera l'equazione (1) $\ddot{x}+f(x)\dot{x}+g(x)=q(t)$, dove $f(x)$, $g(x)$, $q(t)$ sono funzioni continue dei loro argomenti, $f(x)\ge a>0$, $q(t+\omega )=q(t)$ per tutti i $t$ e ${\int }_0^{\omega }q(s)𝑑s=0$ per qualche $\omega$. Sia $H=\{\phi \in C^1[0,\omega ]:\phi (t+\omega )=\phi (t)$ qualunque sia $t$ e ${\int }_0^{\omega }\phi (s)ds=0\}$. Si dimostra che se $g$ è tale che ${\int }_0^{\omega }g(\phi (s))𝑑s=0$ per ogni $\phi \in H$, esiste allora almeno una soluzione $\psi$ di (1) di periodo $\omega$ e ${\int }_0^{\omega }\psi (s)𝑑s=0$.

Si danno condizioni più generali di quelle contenute in una ricerca precedente per l'esistenza di almeno una soluzione periodica delle due equazioni: $$x^{(5)}+a_1{x}^{(4)}+a_2\stackrel{\dot{}\dot{}\dot{}}{x}+\mathrm{\Phi }(\dot{x})\ddot{x}+a_4\dot{x}+h(x,\dot{x},\ddot{x},\stackrel{\dot{}\dot{}\dot{}}{x},x^{(4)})=p(t)$$ $$x^{(5)}+f(\stackrel{\dot{}\dot{}\dot{}}{x})x^{(4)}+a_2\stackrel{\dot{}\dot{}\dot{}}{x}+a_4\dot{x}+h(x,\dot{x},\ddot{x},\stackrel{\dot{}\dot{}\dot{}}{x},x^{(4)})=p(t),$$ $$p(t+\omega )=p(t),\omega >0.$$

Gli Autori in continuazione di alcune loro ricerche precedenti provano due teoremi sulla limitatezza e sull'esistenza di soluzioni periodiche dell'equazione $$\stackrel{\dot{}\dot{}\dot{}}{X}+A\ddot{X}+G(\dot{X})+H(X)=P(t,X,\dot{X},\ddot{X}).$$

Sono dimostrati due teoremi di limitatezza e di asintotica limitatezza per le soluzioni di due classi di equazioni differenziali non lineari del terzo ordine.