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We study here several finiteness problems concerning affine Nash manifolds $M$ and Nash subsets $X$. Three main results are: (i) A Nash function on a semialgebraic subset $Z$ of $M$ has a Nash extension to an open semialgebraic neighborhood of $Z$ in $M$, (ii) A Nash set $X$ that has only normal crossings in $M$ can be covered by finitely many open semialgebraic sets $U$ equipped with Nash diffeomorphisms $(u_1,\cdots ,u_m):U\to {ℝ}^m$ such that $U\cap X=\{u_1\cdots u_r=0\}$, (iii) Every affine Nash manifold with corners $N$ is a closed subset of an affine Nash manifold...

Dado un espacio T (X,T), es posible obtener una compactificación T del mismo, mediante ultrafiltros asociados a ciertas bases distinguidas de cerrados de (X,T) (Frink [4]). Se plantea así el problema siguiente: ¿Puede obtenerse toda compactificación T de (X,T) por este método? Desde el año 1964 en que Frink lo planteó, este interrogante ha tenido respuestas afirmativas parciales. Sin embargo, la solución definitiva es negativa.