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In questo lavoro si studiano condizioni sufficienti sulla funzione peso $V$, espresse in termini di integrabilità, per la validità della disuguaglianza $${\left({\int }_B{u}^2\left(x\right)V\left(x\right)dx\right)}^{\frac{1}{2}}\le c{\left({\int }_B{\left(\nabla u\left(x\right)\right)}^{2}dx\right)}^{\frac{1}{2}},$$ dove $B$ denota una sfera in ${\mathbb{R}}^N$. Usando una tecnica di decomposizione di immersioni si dimostrano condizioni sufficienti in termini di appartenenza a spazi di Lebesgue, Lorentz-Orlicz e/o di tipo debole. Come applicazioni vengono fornite condizioni sufficienti per la proprietà forte di prolungamento unico per $\left|\mathrm{\Delta }u\right|\le V\left|u\right|$ nelle dimensioni 2 e 3.