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Sur les problèmes mixtes pour certains systèmes paraboliques dans les ouverts non cylindriques

Jacques-Louis Lions (1957)

Annales de l'institut Fourier

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Soit Ω un ouvert non cylindrique de l’espace R x n × R t , contenu dans t > 0  ; on donne dans cet ouvert un opérateur différentiel (ou un système d’opérateurs différentiels) de la forme A x + ∂ / ∂ t , A x = Σ ( - 1 ) | p | D x p ( a p q ( x , t ) D x q ) , | p | , | q | ≤ m , l’opérateur A x étant elliptique pour tout t > 0 . On montre que sous certaines hypothèses sur la frontière de Ω , il existe une fonction u et une seule, solution de A x u + ∂ u / ∂ t = f ( x , t ) (donné) avec u ( x , 0 ) = 0 et les...

Les espaces du type de Beppo Levi

Jacques Deny, Jacques-Louis Lions (1954)

Annales de l'institut Fourier

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Soit Ω un ouvert quelconque connexe de R n . Soit E un espace vectoriel de distributions sur Ω , séparé et complet. On désigne par B L m ( E ) l’espace des distributions sur Ω dont toutes les dérivées d’ordre m sont dans E . Ces espaces sont les espaces du type de Beppo Levi. Si E = L 2 ( Ω ) , on écrit B L = B L ( Ω ) au lieu de B L 1 ( L 2 ( Ω ) ) . La première partie est consacrée aux propriétés générales des espaces B L 1 ( E )  ; la seconde associe à toute fonction F ∈ B L ( Ω ) une fonction “précisée”, définie partout sauf sur un ensemble de capacité extérieure...

Équations aux dérivées partielles inhomogènes à coefficients constants dépendant de paramètres

François Trèves (1963)

Annales de l'institut Fourier

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On considère un opérateur différentiel linéaire P ( λ , D x ) sur R n dont les coefficients sont constants par rapport au point x de R n mais sont des fonctions complexes C ∞ du point λ d’une variété Λ qui est C ∞ . On suppose que ces coefficients ne s’annulent pas simultanément, pour aucune valeur de λ ∈ Λ . Alors (“Théorème des supports”) si ν ( x , λ ) est une distribution sur R n × Λ dont le support se projette sur R n suivant un compact, si C est un compact convexe de R n et F un fermé de Λ , support P ( λ , D x ) ν ( x , λ ) ⊂ C × F ⇒ support ν ( x , λ ) ⊂ C × F . Ce résultat...

Espaces de mesures et de fonctions invariants par les isomorphismes locaux de groupes abéliens localement compacts

René Spector (1965)

Annales de l'institut Fourier

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G et G ' étant deux groupes abéliens localement compacts, φ un isomorphisme local de G vers G ' , une fonction de A ( G ) à support compact assez petit est transformée par φ en une fonction de A ( G ' ) . En particulier, les algèbres de germes en un point des fonctions de la classe A sur G et G ' sont isomorphes.

Opérateurs différentiels hypoelliptiques

François Trèves (1959)

Annales de l'institut Fourier

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On établit une condition suffisante pour qu’un opérateur différentiel à coefficients indéfiniment différentiable sur un ouvert de R n y soit hypoelliptique. La démonstration, exposée au chapitre III, utilise divers espaces fonctionnels, qui sont étudiés au chapitre I. On prouve que ce critère implique celui de MM. Hörmander et Malgrange, qui affirme l’hypoellipticité des opérateurs formellement hypoelliptiques. Considérons un opérateur différentiel sur R x n , P ( ν , D x ) , dont les coefficients sont...