Let $R$ be a prime ring of char $R\ne 2$ with a nonzero derivation $d$ and let $U$ be its noncentral Lie ideal. If for some fixed integers $n_1\ge 0,n_2\ge 0,n_3\ge 0$, ${\left(u^{n_1}[d\left(u\right),u]u^{n_2}\right)}^{n_3}\in Z\left(R\right)$ for all $u\in U$, then $R$ satisfies $S_4$, the standard identity in four variables.

Viene data una condizione sufficiente affinchè un sopra-anello di un anello di pseudo-valutazione (PVR) sia ancora un PVR. Da ciò segue che se $\left(R,M\right)$ è un PVR, allora ogni sopra-anello di $R$ è un PVR se (e soltanto se) $R\left[u\right]$ è quasi-locale per ciascun elemento $u$ di $\left(M:M\right)$. Vari risultati sono dimostrati per un ideale primo di un anello commutativo arbitrario $R$, avente $Z\left(R\right)$ come insieme di zero-divisori. Per esempio, se $P$ è un primo «forte» di $R$ e contiene un elemento non-zero divisore di $R$, allora $\left(P:P\right)$ è...

Let $R$ be a prime ring, $I$ a nonzero ideal of $R$, $d$ a derivation of $R$ and $m,n$ fixed positive integers. (i) If ${\left(d[x,y]\right)}^m={[x,y]}_n$ for all $x,y\in I$, then $R$ is commutative. (ii) If $\mathrm{Char}R\ne 2$ and ${[d\left(x\right),d\left(y\right)]}_m={[x,y]}^n$ for all $x,y\in I$, then $R$ is commutative. Moreover, we also examine the case when $R$ is a semiprime ring.