Let $Y$ be an integral projective curve with $g:=p_a\left(Y\right)\ge 2$. For all positive integers $d$, $r$ let $W_d^r\left(Y\right)\left({}^{*A*}\right)$ be the set of all $L\in {\text{Pic}}^d\left(Y\right)$ with $h^0\left(Y,L\right)\ge r+1$ and $L$ spanned. Here we prove that if $d\le g-2$, then $dim\left(W_d^r\left(Y\right)\left({}^{*A*}\right)\right)\le d-3r$ except in a few cases (essentially if $Y$ is a double covering).

In questo lavoro vengono costruite famiglie di 3-folds algebriche e non singolari $X$ di tipo generale tali che l'invariante $K_X^3$ sia il minimo possibile rispetto al genere geometrico $p_g$ , quando si suppone che il morfismo canonico sia birazionale. Per tali 3-folds vale la relazione lineare $K_X^3=4p_g-14$ inoltre l'immagine del morfismo canonico é una varietà di Castelnuovo di ${\mathbb{P}}^{p_g-1}$.

Sia $X$ una curva liscia di genere $g\ge 2$ ed $A$, $B$ fasci coerenti su $X$. Sia ${\mu }_{A,B}:H^0\left(X,A\right)\otimes H^0\left(X,B\right)\to H^0\left(X,A\otimes B\right)$ l'applicazione di moltiplicazione. Qui si dimostra che ${\mu }_{A,B}$ ha rango massimo se $A\cong {\omega }_X$ e $B$ è un fibrato stabile generico su $X$. Diamo un'interpretazione geometrica dell'eventuale non-surgettività di ${\mu }_{A,B}$ quando $A,B$ sono fibrati in rette generati da sezioni globali e $\mathrm{deg}\left(A\right)+\mathrm{deg}\left(B\right)\ge 3g-1$. Studiamo anche il caso $\text{dim}\left(\text{Coker}\left({\mu }_{A,B}\right)\right)\ge 2$.

We prove that a very ample special line bundle $L$ of degree $d>\left(3g-1\right)/2$ on a general $k$-gonal curve is normally generated if the degree of the base locus of its dual bundle $K{L}^{-1}$ does not exceed $c\left(k-2\right)/2$, where $c:=d-\left(3g-1\right)/2$.