We prove that a very ample special line bundle $L$ of degree $d>\left(3g-1\right)/2$ on a general $k$-gonal curve is normally generated if the degree of the base locus of its dual bundle $K{L}^{-1}$ does not exceed $c\left(k-2\right)/2$, where $c:=d-\left(3g-1\right)/2$.

Sia $X\subset {\mathbf{P}}^N$ una varietà irriducibile $n$-dimensionale localmente Cohen-Macaulay, $\mathbf{Q}$-Gorenstein e non di tipo generale; assumiamo $N=6$, $2n=N+2$ e $\text{dim}\left(\text{Sing}\left(X\right)\right)=2n-N$. In questo lavoro dimostriamo che $\text{deg}\left(X\right)\le {\left(N+1\right)}^{N-n}$ e quindi che l'insieme di tutte queste varietà è parametrizzato da un insieme finito di varietà algebriche.

Let $Y$ be an integral projective curve with $g:=p_a\left(Y\right)\ge 2$. For all positive integers $d$, $r$ let $W_d^r\left(Y\right)\left({}^{*A*}\right)$ be the set of all $L\in {\text{Pic}}^d\left(Y\right)$ with $h^0\left(Y,L\right)\ge r+1$ and $L$ spanned. Here we prove that if $d\le g-2$, then $dim\left(W_d^r\left(Y\right)\left({}^{*A*}\right)\right)\le d-3r$ except in a few cases (essentially if $Y$ is a double covering).

Sia $X\subset \mathbb{P}\left(H^0{\left(X,L\right)}^{*}\right)$ una curva proeittiva e lissa, generali nel senso di Brill-Noether, indichiamo con ${\mathcal{R}}_4\left(X\right)$ l'insieme algebrico di quadrici di rango $4$ contenendo a $X$. In questo lavoro noi descriviamo birazionalmente i componenti irriducibile di ${\mathcal{R}}_4\left(X\right)$.

Let $X\to B$ an elliptic fibration with general fibre $F$. Let $n_e,n_s,n_a,n_v$ be the minima of the non-zero intersection numbers $(ℒ,F)$ where $ℒ$ runs successively through the following sets: effective divisors on $X$, invertible sheaves spanned by global sections, ample divisors and very ample divisors. Let $m$ be the maximum of the multiplicities of the fibres of $X\to B$. We prove that $n_e=n_s$ if and only if $n_e\ge 2m$ and that $n_a=n_v$ if and only if $n_a\ge 3m$.