On the notion of potential for mappings between linear spaces. A generalized version of the Poincaré lemma

Tullio Valent

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Function space topologies deriving from hypertopologies and networks

A. Di Concilio, A. Miranda (2001)

Bollettino dell'Unione Matematica Italiana

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In un progetto di generalizzazione delle classiche topologie di tipo «set-open» di Arens-Dugundji introduciamo un metodo generale per produrre topologie in spazi di funzioni mediante l'uso di ipertopologie. Siano $X$ , $Y$ spazi topologici e $C (X, Y)$ l'insieme delle funzioni continue da $X$ verso $Y$ . Fissato un «network» $α$ nel dominio $X$ ed una topologia $τ$ nell'iperspazio $C L (Y)$ del codominio $Y$ si genera una topologia $τ_{α}$ in $C (X, Y)$ richiedendo che una rete $\{f_{λ}\}$ di $C (X, Y)$ converge in $τ_{α}$ ad $f \in C (X, Y)$ se e solo se la rete $\{\bar{f_{λ} (A)}\}$ converge...

Note on the Wijsman hyperspaces of completely metrizable spaces

J. Chaber, R. Pol (2002)

Bollettino dell'Unione Matematica Italiana

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We consider the hyperspace $C L (X)$ of nonempty closed subsets of completely metrizable space $X$ endowed with the Wijsman topologies $τ_{W_{d}}$ . If $X$ is separable and $d$ , $e$ are two metrics generating the topology of $X$ , every countable set closed in $(C L (X), τ_{W_{e}})$ has isolated points in $(C L (X), τ_{W_{d}})$ . For $d = e$ , this implies a theorem of Costantini on topological completeness of $(C L (X), τ_{W_{d}})$ . We show that for nonseparable $X$ the hyperspace $(C L (X), τ_{W_{d}})$ may contain a closed copy of the rationals. This answers a question of Zsilinszky.

Partial Hölder continuity results for solutions of non linear non variational elliptic systems with limit controlled growth

Luisa Fattorusso, Giovanna Idone (2002)

Bollettino dell'Unione Matematica Italiana

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Let $Ω$ be a bounded open subset of $R^{n}$ , $n > 4$ , of class $C^{2}$ . Let $u \in H^{2} (Ω)$ a solution of elliptic non linear non variational system $a (x, u, D u, H (u)) = b (x, u, D u)$ where $a (x, u, μ, ξ)$ and $b (x, u, μ)$ are vectors in $R^{N}$ , $N \geq 1$ , measurable in $x$ , continuous in $(u, μ, ξ)$ and $(u, μ)$ respectively. Here, we demonstrate that if $b (x, u, μ)$ has limit controlled growth, if $a (x, u, μ, ξ)$ is of class $C^{1}$ in $ξ$ and satisfies the Campanato condition $(A)$ and, together with $\frac{\partial a}{\partial ξ}$ , certain continuity assumptions, then the vector $D u$ is partially Hölder continuous for every exponent $α < 1 - \frac{n}{p}$ .

Homogenization of some nonlinear problems with specific dependence upon coordinates

P. Courilleau, S. Fabre, J. Mossino (2001)

Bollettino dell'Unione Matematica Italiana

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Questo articolo considera una successione di equazioni differenziali a derivate parziali non lineari in forma di divergenza del tipo $- div (Q^{ϵ} G (x, N^{ϵ} \nabla u)) = f^{ϵ},$ in un dominio limitato $Ω$ dello spazio $n$ -dimensionale; $Q^{ϵ} = Q^{ϵ} (x)$ e $N^{ϵ} = N^{ϵ} (x)$ sono matrici con coefficenti limitati, $N^{ϵ}$ e è invertibile e la sua matrice inversa $R^{ϵ}$ ha anche coefficenti limitati. La non linearità è dovuta alla funzione $G = G (x, ξ)$ ; la condizione di crescita, la monotonicità e le ipotesi di coercitività sono modellate sul $p$ -Laplaciano, $1 < p < \infty$ , ed assicurano l'esistenza di...