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Sur les fonctions convexes mesurables

Wacław Sierpiński (1920)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de démontrer le théorème suivant: Toute fonction mesurable et convexe dans l'intervalle est continue à l'intérieur de cet intervalle.

Sur les séries de fonctions orthogonales

D. Menchoff (1923)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de démontrer: Théorème: Si les fonctions φ_n(x), (n=1,2,3,...) forment un système normé de fonctions orthogonales dans l'intervalle (a,b), c'est-à-dire si ∫_a^b [φ_n(x)]^2 dx =1, ∫_a^b φ_m(x)·φ_n(x)dx =0, n ≠ m, si, de plus, les constantes réelles a_n sont telles que ∑_{n=1}^{∞} a_n^2 (lg n)^2 converge, la série ∑_{n=1}^{∞} a_n·φ_n(x) converge presque partout dans l'intervalle (a,b). Théorème: Quelle que soit la fonction positive W(n) vérifiant la condition W(n)...

Critères de convexité et inégalités intégrales

Serge Dubuc (1977)

Annales de l'institut Fourier

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Pour trois fonctions non-négatives intégrables sur R n , f , g et h , telles que ( h ( x + y ) ) - 1 / n ( f ( x ) ) - 1 / n + ( g ( y ) ) - 1 / n , Borelll a établi l’inégalité h ( z ) d z min f ( x ) d x , g ( y ) d y ) . Nous déterminons les conditions précises où l’inégalité sera stricte. La clef de cette analyse est une nouvelle caractérisation des fonctions convexes mesurables.