Critères de convexité et inégalités intégrales

Serge Dubuc

Annales de l'institut Fourier (1977)

  • Volume: 27, Issue: 1, page 135-165
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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Let be three non-negative functions, f , g and h , which are integrable on R n , and ( h ( x + y ) ) - 1 / n ≤ ( f ( x ) ) - 1 / n + ( g ( y ) ) - 1 / n , the inequality ∫ h ( z ) d z ≥ min ∫ f ( x ) d x , ∫ g ( y ) d y ) was found by Borell. We look for precise conditions under which the inequality is strict. The cornerstone of this analysis is a new characterization of measurable convex functions.

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Dubuc, Serge. "Critères de convexité et inégalités intégrales." Annales de l'institut Fourier 27.1 (1977): 135-165. <http://eudml.org/doc/74306>.

@article{Dubuc1977,
abstract = {Pour trois fonctions non-négatives intégrables sur $\{\bf R\}^n$, $f,g$ et $h$, telles que $(h(x+y))^\{-1/n\}\le (f(x))^\{-1/n\}+(g(y))^\{-1/n\}$, Borelll a établi l’inégalité $\int h(z)dz\ge \,\{\rm min\}\,\int f(x)dx,\;\int g(y)dy)$. Nous déterminons les conditions précises où l’inégalité sera stricte. La clef de cette analyse est une nouvelle caractérisation des fonctions convexes mesurables.},
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References

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  1. [1] T. BONNESEN, Les problèmes des isopérimètres et des isépiphanes, Gauthier-Villars, Paris (1929). Zbl55.0431.08JFM55.0431.08
  2. [2] T. BONNESEN et W. FENCHEL, Theorie der konvexen Körper ; Springer, Berlin (1934). Zbl0008.07708JFM60.0673.01
  3. [3] C. BORELL, Convex set functions in d-space, Period. Math. Hungar., Vol. 6 (1975), 111-136. Zbl0307.28009MR53 #8359
  4. [4] H. HADWIGER et D. OHMANN, Brunn-Minkoswkischer Satz und Isoperimetrie Math. Z., Bd 66 (1956), 1-8. Zbl0071.38001MR18,595c
  5. [5] R. HENSTOCK et A.M. MACBEATH, On the mesure of sum-sets. (I) The theorems of Brunn, Minkowski and Lusternik, Proc. London Math. Soc., (3) 3 (1953), 182-194. Zbl0052.18302
  6. [6] J.H.B. KEMPERMAN, A general functional equation, Trans. Amer. Math. Soc., 86 (1957), 28-56. Zbl0079.33402MR20 #1123
  7. [7] M.E. KUCZMA, Almost convex functions, Colloq. Math., 21 (1970), 279-284. Zbl0201.38701MR41 #7043
  8. [8] S. KUREPA, Note on the difference set of two-measurable sets in En, Glasnik Mat. Fiz. Astr., II 15 (1960), 99-105. Zbl0131.29503MR23 #A1768
  9. [9] L. LEINDLER, On a certain converse of Hölder's inequality II, Acta Sci. Math., 33 (1972), 215-223. Zbl0245.26011
  10. [10] L. LUSTERNIK, Die Brunn-Minkowskische Ungleichung für beliebige messbare Mengen, Comptes Rendus (Doklady) Acad. Sc. U.R.S.S., (1953) 3 (8) No. 2 (62), 55-58. Zbl0012.27203
  11. [11] J.J. MOREAU, Fonctionnelles convexes, Séminaire sur les équations aux dérivées partielles, Collège de France, 1966-1967. 
  12. [12] M.E. MUNROE, Measure and Integration Addison-Wesley Reading Mass. (1971). Zbl0227.28001
  13. [13] A. PREKOPA, On logarithmic concave measure and functions, Acta Sci. Math., 34 (1972), 336-343. Zbl0264.90038
  14. [14] J. RADON, Uber die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte langs gewisser Mannigfaltigkeiten, Ber. Verh. Sächs. Wiss. Leipzig, Math. -Nat. K1., 69 (1917), 262-277. Zbl46.0436.02JFM46.0436.02
  15. [15] V.A. ZALGALLER, Mixed volumes and the probability of hitting in convex domains for a multidimensional normal distribution, Mat. Zametki., Vol. 2, No. 1 (1967), 97-104. Zbl0201.21403MR35 #3711

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