Homogeneous algebras on the circle. I. Ideals of analytic functions

Colin Bennett; John E. Gilbert

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Overstability and resonance

Augustin Fruchard, Reinhard Schäfke (2003)

Annales de l’institut Fourier

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We consider a singularity perturbed nonlinear differential equation $ε u^{'} = f (x) u + + ε P (x, u, ε)$ which we suppose real analytic for $x$ near some interval $[a, b]$ and small $| u |$ , $| ε |$ . We furthermore suppose that 0 is a turning point, namely that $x f (x)$ is positive if $x \neq 0$ . We prove that the existence of nicely behaved (as $ϵ \to 0$ ) local (at $x = 0$ ) or global, real analytic or $C^{\infty}$ solutions is equivalent to the existence of a formal series solution $\sum u_{n} (x) ε^{n}$ with $u_{n}$ analytic at $x = 0$ . The main tool of a proof is a new “principle of analytic continuation” for...

Real and complex analytic sets. The relevance of Segre varieties

Klas Diederich, Emmanuel Mazzilli (2008)

Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze

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Let $X \subset {ℂ^{n}}^{n}$ be a closed real-analytic subset and put $𝒜 : = {z \in X ∣ \exists A \subset X, germ of a complex-analytic set, z \in A, {dim}_{z} A > 0}$ This article deals with the question of the structure of $𝒜$ . In the main result a natural proof is given for the fact, that $𝒜$ always is closed. As a main tool an interesting relation between complex analytic subsets of $X$ of positive dimension and the Segre varieties of $X$ is proved and exploited.

Algebras of differentiable functions in the plane

Karel De Leeuw, H. Mirkil (1963)

Annales de l'institut Fourier

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Soit $A$ un ensemble quelconque d’opérateurs différentiels en deux variables à coefficients complexes constants. Soit $C_{0}$ l’espace des fonctions continues complexes tendant vers zéro à l’infini dans le plan euclidien. Soit $C_{0} (A)$ l’espace ${f : f \in C_{0}, A_{f} C_{0}$ , tout $a \in A}$ . Classifier ces espaces équivaut à trouver des conditions nécessaires et suffisantes sur des opérateurs différentiels $P_{1}, ..., P_{n}$ pour que $∥ P_{1} φ ∥_{\infty} \leq K (∥ P_{2} φ ∥_{\infty} + \dots + ∥ P_{n} φ ∥_{\infty})$ . Il paraît que ce problème général est bien difficile. Nous présentons ici la solution complète dans le cas spécial des...

Algebras of differentiable functions on Riemann surfaces

Karel De Leeuw, H. Mirkil (1964)

Annales de l'institut Fourier

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La structure d’une variété $V$ indéfiniment différentiable est complètement caractérisée par l’algèbre des fonctions indéfiniment différentiables sur $V$ . Pour des surfaces de Riemann il n’y a pas, en général, une algèbre caractérisante de fonctions globalement définies. Dans ce travail l’on définit une classe dénombrable de telles algèbres. Ces algèbres sont des analogues, pour les surfaces de Riemann, des algèbres définies pour le plan par les auteurs dans “Algebras of differentiable...

On the analyticity of generalized eigenfunctions (case of real variables)

Eberhard Gerlach (1968)

Annales de l'institut Fourier

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On démontre que, dans les espaces fonctionnels propres de Hilbert (avec un noyau reproduisant), formés de fonctions analytiques de $n$ variables dans un domaine $G$ , pour tout opérateur auto-adjoint, les fonctions propres généralisées sont des fonctions réelles-analytiques dans $G$ .

Pick-Nevanlinna interpolation on finitely-connected domains

Stephen Fisher (1992)

Studia Mathematica

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Let Ω be a domain in the complex plane bounded by m+1 disjoint, analytic simple closed curves and let $z_{0}, . . ., z_{n}$ be n+1 distinct points in Ω. We show that for each (n+1)-tuple $(w_{0}, . . ., w_{n})$ of complex numbers, there is a unique analytic function B such that: (a) B is continuous on the closure of Ω and has constant modulus on each component of the boundary of Ω; (b) B has n or fewer zeros in Ω; and (c) $B (z_{j}) = w_{j}$ , 0 ≤ j ≤ n.

Topological invariants of analytic sets associated with Noetherian families

Aleksandra Nowel (2005)

Annales de l’institut Fourier

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Let $Ω \subset ℝ^{n}$ be a compact semianalytic set and let $ℱ$ be a collection of real analytic functions defined in some neighbourhood of $Ω$ . Let $Y_{ω}$ be the germ at $ω$ of the set $⋂_{f \in ℱ} f^{- 1} (0)$ . Then there exist analytic functions $v_{1}, v_{2}, ..., v_{s}$ defined in a neighbourhood of $Ω$ such that $\frac{1}{2} χ (lk (ω, Y_{ω})) = \sum_{i = 1}^{s} sgn v_{i} (ω)$ , for all $ω \in Ω$ .