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Sur un théorème général de probabilité

Alfred Rényi (1949)

Annales de l'institut Fourier

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L’auteur généralise un théorème qu’il a déjà donné (J. de Math. 28 (949)). Envisageant un champ de probabilités au sens de Kolmogoroff, il élargit puis étudie la notion de discrépance, en introduisant la discrépance D y ( x ) d’une variable aléatoire x par rapport à une autre variable aléatoire y  ; elle se réduit au coefficient de corrélation si x et y sont des variables caractéristiques. Il introduit aussi la notion de suite de variables aléatoires “presque indépendantes deux à deux”, avec...

Sur les moyennes arithmétiques des suites de fonctions orthogonales

I. S. Gal (1949)

Annales de l'institut Fourier

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Soit { φ ν ( x ) } une suite orthonormale dans l’intervalle ( - ∞ < a ≤ x ≤ b < ∞ ) . L’auteur démontre, que ∑ ν = 1 N 1 - ν - 1 N φ ν ( x ) = 0 N 1 2 ( log N ) 1 2 + ϵ pour tout ϵ > 0 et presque partout dans a ≤ x ≤ b . La démonstration est basée sur un théorème de MM. Gál et Koksma et on peut généraliser aussi pour le cas - ∞ ≤ x ≤ ∞ (théorème auxiliaire). En utilisant ce théorème auxiliaire on obtient tout de suite l’estimation connue pour les fonctions de Lebesgue (théorème 2) [voir Kaczmarcz et Steinhaus, Theorie der Orthogonalreihen, Warszawa, 1935, 577].