Conditional brownian motion and the boundary limits of harmonic functions

J.L. Doob

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Some classical function theory theorems and their modern versions

J. L. Doob (1965)

Annales de l'institut Fourier

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On étudie les relations entre les valeurs d’adhérence fine en un point-frontière et les valeurs d’adhérence le long de la normale en ce point pour les fonctions sousharmoniques et les fonctions méromorphes dans un demi-plan. Des théorèmes classiques de limite à la frontière et des généralisations sont ainsi obtenues par des méthodes de théorie de potentiel. Une étude de ce genre des valeurs d’adhérence en un point singulier isolé fournit une version en topologie fine du théorème de Casorati-Weierstrass....

Boundary properties of functions with finite Dirichlet integrals

J. L. Doob (1962)

Annales de l'institut Fourier

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L’auteur étudie dans un espace de Green (en particulier un domaine borné de $R^{n}$ ) les fonctions $B L D$ (limites en un certain sens des fonctions assez régulières à intégrale de Dirichlet finie). On se ramène au cas harmonique montré qu’une telle fonction harmonique $u$ est solution d’un problème de Dirichlet-Martin (c’est-à-dire correspond à une donnée $u^{'}$ sur la frontière de Martin), ce qui entraîne l’existence d’une limite “fine” $u^{'}$ p.p. Cela résulte de travaux antérieurs et de la remarque que...

Stochastic harmonic morphisms : functions mapping the paths of one diffusion into the paths of another

Bernt Oksendal, L. Csink (1983)

Annales de l'institut Fourier

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We give several necessary and sufficient conditions that a function $φ$ maps the paths of one diffusion into the paths of another. One of these conditions is that $φ$ is a harmonic morphism between the associated harmonic spaces. Another condition constitutes an extension of a result of P. Lévy about conformal invariance of Brownian motion. The third condition implies that two diffusions with the same hitting distributions differ only by a chance of time scale. We also obtain a converse...

A non probabilistic proof of the relative Fatou theorem

J. L. Doob (1959)

Annales de l'institut Fourier

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L’auteur démontre en s’appuyant sur la thèse de Mlle Naïm le résultat suivant qu’il avait établi grâce aux probabilités : dans un espace de Green, si $u$ et $h$ sont surharmoniques $> 0$ , $u / h$ admet en tout point de l’espace ou de sa frontière de Martin une “limite fine” finie, sauf sur un ensemble de mesure nulle pour la mesure associée canoniquement à $h$ . Puis, il peut même affaiblir l’hypothèse $u > 0$ .

Fatou-Naïm-Doob limit theorems in the axiomatic system of Brelot

Kohur Gowrisankaran (1966)

Annales de l'institut Fourier

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On étend les résultats de Fatou-Naïm-Doob sur l’allure à la frontière “fine” des fonctions surharmoniques dans la théorie axiomatique de M. Brelot en utilisant seulement les axiomes 1,2,3, l’espace de base ayant une base dénombrable.