De l’application des méthodes valuatives en algèbre différentielle

Guillaume Duval[1]

  • [1] 1, Chemin du Chateau, 76 430 Les Trois Pierres (France)

Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques (2008)

  • Volume: 17, Issue: 4, page 673-717
  • ISSN: 0240-2963

Abstract

top
Valuation theory is a classical achievement of the works of geometers and arithmeticians of the nineteen century. In contrast, its apparition in Differential Algebra is far to be well known and only appear in the second half of the twenty century. The aim of this paper is to give an overview of the use of valuations in Differential Algebra. Thanks to the contributions of many autors, we try to show how valuations might help to unify results coming from geometry, arithmetic and differrential equations.

How to cite

top

Duval, Guillaume. "De l’application des méthodes valuatives en algèbre différentielle." Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques 17.4 (2008): 673-717. <http://eudml.org/doc/10101>.

@article{Duval2008,
abstract = {La théorie des valuations née des travaux des géomètres et arithméticiens du XIX$^\{\{\rm ême\}\}$ siècle, fit une apparition tardive et encore peu connue au XX$^\{\{\rm ême\}\}$ siècle en algèbre différentielle. Dans cet article, à travers les contributions de nombreux auteurs, nous présentons une synthèse des divers apports de la théorie des valuations à l’étude des équations différentielles. Nous insistons sur le caractère unificateur de la théorie des valuations en illustrant comment elles permettent de mettre en parallèle des résultats de géométrie et d’arithmétique avec des résultats concernant les équations différentielles.},
affiliation = {1, Chemin du Chateau, 76 430 Les Trois Pierres (France)},
author = {Duval, Guillaume},
journal = {Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques},
language = {fre},
month = {6},
number = {4},
pages = {673-717},
publisher = {Université Paul Sabatier, Toulouse},
title = {De l’application des méthodes valuatives en algèbre différentielle},
url = {http://eudml.org/doc/10101},
volume = {17},
year = {2008},
}

TY - JOUR
AU - Duval, Guillaume
TI - De l’application des méthodes valuatives en algèbre différentielle
JO - Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques
DA - 2008/6//
PB - Université Paul Sabatier, Toulouse
VL - 17
IS - 4
SP - 673
EP - 717
AB - La théorie des valuations née des travaux des géomètres et arithméticiens du XIX$^{{\rm ême}}$ siècle, fit une apparition tardive et encore peu connue au XX$^{{\rm ême}}$ siècle en algèbre différentielle. Dans cet article, à travers les contributions de nombreux auteurs, nous présentons une synthèse des divers apports de la théorie des valuations à l’étude des équations différentielles. Nous insistons sur le caractère unificateur de la théorie des valuations en illustrant comment elles permettent de mettre en parallèle des résultats de géométrie et d’arithmétique avec des résultats concernant les équations différentielles.
LA - fre
UR - http://eudml.org/doc/10101
ER -

References

top
  1. Bellman (R.).— Stability Theory of Differential Equations, Dover (1969). Zbl0208.17502MR247201
  2. Bertrand (D.).— Groupes algébriques et équations différentielles linéaires. Astérisque, (206) :Exp. No. 750, 4, p. 183-204 (1992). Zbl0813.12004MR1206068
  3. Borel (E.).— Mémoire sur les Séries Divergentes. Annales. Sci. de l’ENS, 16(3), p. 1-131 (1899). Zbl30.0230.03
  4. Bourbaki (N.).— Fonctions d’Une Variable Réelle. Chap V. 2nd ed. Hermann, Paris (1961). Zbl0131.05001
  5. Cano (F.), Moussu (R.), and Rolin (J.-P.).— Non Oscillating Integral Curves and Valuations (2003). 
  6. Cartier (P.).— Fonctions polylogarithmes, nombres polyzêtas et groupes pro-unipotents, Astérisque, (282) :Exp. No. 885, viii, p. 137-173 (2002). Zbl1085.11042MR1975178
  7. Cassels (J.W.S).— Local Fields. London Mathematical Society. Cambridge University Press (1986). Zbl0595.12006MR861410
  8. Chevalley (C.).— Introduction to the theory of Algebraic Functions of one Variable, Mathematical Surveys, No. VI. American Mathematical Society, Providence, R.I. (1963). Zbl0045.32301MR181641
  9. Del Blanco Maraña (J. M.).— Cuerpos de series generalizadas y cuerpos de Hardy, PhD thesis, Universidad de Valladolid, Mai (2006). 
  10. Deligne (P.).— Catégories Tannakiennes. In The Grothendieck Festschrift, Vol. II, volume 87 of Progr. Math., p. 111-195. Birkhäuser Boston, Boston, MA (1990). Zbl0727.14010MR1106898
  11. Dieudonné (J.).— Abrégé d’Histoire des Mathématiques 1700-1900, Hermann, Paris (1978). Zbl0656.01001
  12. Duval (G.).— Actions des groupes de Galois différentiels sur les espaces de valuations. PhD thesis, Université de Toulouse, Octobre (2005). 
  13. Duval (G.).— Valuations and differential galois groups, Trans. of the AMS À paraitre, p. 1-50 (2008). 
  14. Fortuny (P.).— De l’Hôpital valuations and complex planar foliations, Rev. Semin. Iberoam. Mat. Singul. Tordesillas, 2(2), p. 3-19 (1998). MR1972150
  15. Hardy (G.-H.).— Properties of Logarithmico-Exponential Functions, Proc. London. Math. Soc., 10, p. 54-90 (1912). Zbl42.0437.02
  16. Hardy (G.-H.).— Orders of Infinity, volume 12, Cambridge Tracts in Mathematics (1924). Zbl50.0153.04
  17. Hartshorne (R.).— Algebraic Geometry, volume 52 of Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York (1977). Zbl0367.14001MR463157
  18. Hellegouarch (Y.).— Invitation aux mathématiques de Fermat-Wiles, Enseignement des Mathématiques. Masson, Paris (1997). Zbl1030.11001MR1475927
  19. Honda (T.).— Algebraic Differential Equations. In Symposia Mathematica, Vol. XXIV (Sympos., INDAM, Rome, 1979), p. 169-204, Academic Press, London (1981). Zbl0464.12013MR619247
  20. Ince (E. L.).— Ordinary Differential Equations, Dover Publications, New York (1944). Zbl0063.02971MR10757
  21. Jacob (B.).— Le Théorème de Cebotarev, p. 1-24 (2002). http ://www.dma.ens.fr/edition/MemoiresMaitrise/2001-2002/ 
  22. Kaplansky (I.).— Maximal fields with valuations. Duke Math. Journal, 9, p. 303-321 (1942). Zbl0063.03135MR6161
  23. Katz (N. M.).— Nilpotent connections and the monodromy theorem : Applications of a result of Turrittin. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math., (39), p. 175-232 (1970). Zbl0221.14007MR291177
  24. Kolchin (E. R.).— Rational approximation to solutions of algebraic differential equations, Proc. Amer. Math. Soc., 10, p. 238-244 (1959). Zbl0092.27302MR107641
  25. Lang (S.).— Algebra, volume 211 of Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York (2002). Zbl0984.00001MR1878556
  26. Lion (J.-M.), Miller (C.), and Speissegger (P.).— Differential equations over polynomially bounded o-minimal structures, Proc. Amer. Math. Soc., 131(1) :175-183 (electronic) (2003). Zbl1007.03039MR1929037
  27. Magid (A.R.).— Lectures on Differential Galois Theory, volume 7. A.M.S. Col. Univ. Lectures Series (1994). Zbl0855.12001MR1301076
  28. Maric (V.).— Differential and algebraic equations in Hardy fields, In Differential equations and applications, Vol. I, II (Columbus, OH, 1988), p. 179-182, Ohio Univ. Press, Athens, OH (1989). Zbl0719.34098MR1026216
  29. Martinet (J.) and Ramis (J.-P.).— Théorie de Galois Différentielle et Resommation, In Computer algebra and differential equations, Comput. Math. Appl., p. 115-214, Academic Press, London (1990). Zbl0722.12007MR1038060
  30. Martinet (J.) and Ramis (J.-P.).— Elementary Acceleration and Multisummability. Annales de l’Institut Henri Poincaré, Physique Théorique, 86(4), p. 331-401 (1991). Zbl0748.12005MR1128863
  31. Matsuda (M.).— First Order Algebraic Differential Equations, volume 804 of Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag (1980). Zbl0447.12014MR576060
  32. Muntingh (G.), Van der Put (M.).— Order one equation with the painlevé Property, peprint (2006). 
  33. Picard (E.).— Traité d’Analyse, Tome III, 2nd ed. Gauthier-Villard, Paris (1908). Zbl40.0330.15
  34. Robinson (A.).— On the real closure of a Hardy field. In Theory of sets and topology (in honour of Felix Hausdorff, 1868-1942), p. 427-433, VEB Deutsch. Verlag Wissensch., Berlin (1972). Zbl0298.02061MR340225
  35. Roquette (P.).— History of valuation theory. I. In Valuation theory and its applications, Vol. I (Saskatoon, SK, 1999), volume 32 of Fields Inst. Commun., p. 291-355, Amer. Math. Soc., Providence, RI (2002). Zbl1159.12300MR1928376
  36. Rosenlicht (M.).— On the explicit solvability of certain transcendental equations, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math., (36), p. 15-22 (1969). Zbl0181.32404MR258808
  37. Rosenlicht (M.).— An analogue of l’Hospital’s rule, Proc. Amer. Math. Soc., 37, p. 369-373 (1973). Zbl0253.12105MR318117
  38. Rosenlicht (M.).— Differential Valuations, Pacific J. Math., 86(1), p. 301-319 (1980). Zbl0401.12024MR586879
  39. Rosenlicht (M.).— Hardy Fields, J. Math. Anal. Appl., 93(2), p. 297-311 (1983). Zbl0518.12014MR700146
  40. Rosenlicht (M.).— The rank of a Hardy field, Trans. Amer. Math. Soc., 280(2), p. 659-671 (1983). Zbl0536.12015MR716843
  41. Seidenberg (A.).— Derivations and valuation rings, In Contributions to algebra (collection of papers dedicated to Ellis Kolchin), p. 343-347, Academic Press, New York (1977). Zbl0374.13004MR485814
  42. Shackell (J.).— Rosenlicht Fields, Trans. Amer. Math. Soc., 335(2), p. 579-595 (1993). Zbl0772.34044MR1085945
  43. Singer (M.) and Van der Put (M.).— Galois Theory of Linear Differential Equations, volume 328 of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], Springer-Verlag (2003). Zbl1036.12008MR1960772
  44. Singer (M. F.).— Asymptotic Behaviour of Solutions of Differential Equations and Hardy Fields : Preliminary Report (1975). 
  45. Singer (M. F.).— Solutions of Linear Differential Equations in Function Fields of one Variable, Proc. Amer. Math. Soc., 54, p. 69-72 (1976). Zbl0318.12106MR387260
  46. Stichtenoth (H.).— Algebraic Function Fields and Codes, Universitext, Springer-Verlag, Berlin (1993). Zbl0816.14011MR1251961
  47. Thom (R.).— Paraboles et Catastrophes, Flammarion (1983). 
  48. Vaquié (M.).— Valuations. In Resolution of Singularities, number 181 in Progress in Mathematics, p. 439-590, Birkhauser, Basel (2000). Zbl1003.13001MR1748635
  49. Zariski (O.) and Samuel (P.).— Commutative Algebra, volume II of The University Series in Higher Mathematics, D. Van Nostrand Company, INC. (1960). Zbl0121.27801MR120249

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.