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Exploration d’un mode d’écriture de la généralité : l’article de Poincaré sur les lignes géodésiques des surfaces convexes (1905)

Anne Robadey (2004)

Revue d'histoire des mathématiques

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L’analyse de l’article de Poincaré sur les géodésiques fait apparaître qu’il entretient des liens complexes avec les travaux antérieurs de Poincaré en mécanique céleste. Nous montrerons que le problème des géodésiques des surfaces convexes est traité comme un paradigme grâce auquel Poincaré explicite une méthode qui n’était présentée qu’à l’état d’ébauche dans ses ouvrages de mécanique céleste. Cette étude de cas permet ainsi de mettre en évidence l’utilisation par Poincaré d’une technique...

Algèbres simples centrales sur les corps de fonctions de deux variables

Jean-Louis Colliot-Thélène (2004-2005)

Séminaire Bourbaki

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À toute classe dans le groupe de Brauer d’un corps F sont associés deux entiers, l’indice (degré d’un corps gauche représentant la classe) et l’exposant (ordre de la classe dans le groupe de Brauer). L’exposant divise l’indice, mais ne lui est pas nécessairement égal. Lorsque F est un corps de nombres, c’est un théorème des années 1930 qu’exposant et indice coïncident. A. J. de Jong (Duke Math. J. 123 (2004) 71-94) a montré récemment qu’ils coïncident aussi lorsque F est un corps de...

Perspective historique sur les rapports entre la théorie des modèles et l’algèbre. Un point de vue tendancieux

Daniel Lascar (1998)

Revue d'histoire des mathématiques

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Je vais traiter, d’un point de vue personnel, la naissance et les premiers développements de la théorie des modèles pendant la période qui s’étend de sa naissance vers 1870, avec les travaux de Peirce, jusqu’au théorème de Morley vers 1965. J’insisterai particulièrement sur l’aspect « algèbre universelle » et j’essaierai de dégager comment la notion de définissabilité a fait évoluer cette théorie jusqu’à une science complexe pouvant apporter de nouvelles idées au reste des mathématiques. ...

Irrationalité de valeurs de zêta

Stéphane Fischler (2002-2003)

Séminaire Bourbaki

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Les valeurs aux entiers pairs (strictement positifs) de la fonction ζ de Riemann sont transcendantes, car ce sont des multiples rationnels de puissances de π . En revanche, on sait très peu de choses sur la nature arithmétique des ζ ( 2 k + 1 ) , pour k ≥ 1 entier. Apéry a démontré en 1978 que ζ ( 3 ) est irrationnel. Rivoal a prouvé en 2000 qu’une infinité de ζ ( 2 k + 1 ) sont irrationnels, mais sans pouvoir en exhiber aucun autre que ζ ( 3 ) . Il existe plusieurs points de vue sur la preuve d’Apéry ; celui des séries hypergéométriques...

Groupes de Galois de corps de type fini

Tamás Szamuely (2002-2003)

Séminaire Bourbaki

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Il y a quelques années, Florian Pop a démontré que tout corps de type fini sur le corps premier est déterminé à isomorphisme près par son groupe de Galois absolu (quitte à passer à une extension purement inséparable en caractéristique positive). Ce théorème, dont la généalogie remonte à des travaux de Neukirch sur les groupes de Galois de corps de nombres au début des années 1970, répond positivement à la “conjecture anabélienne birationnelle”de A. Grothendieck formulée en 1983. Dans...