Weak approximation for algebraic tori quite fails

Colliot-Thélène, Jean-Louis, and Suresh, Venapally. "Quelques questions d’approximation faible pour les tores algébriques." Annales de l’institut Fourier 57.1 (2007): 273-288. <http://eudml.org/doc/10221>.

@article{Colliot2007,
abstract = {Soient $K$ un corps global, $T$ un $K$-tore, $S$ un ensemble fini de places de $K$. On note $K_\{v\}$ le complété de $K$ en $v \in S$. Soit $T(K)$, resp. $T(K_\{v\})$, le groupe des points $K$-rationnels, resp. $K_\{v\}$-rationnels, de $T$. Notons $T(O_\{v\}) \subset T(K_\{v\})$ le sous-groupe compact maximal. Nous montrons que pour $T$ et $S$ convenables l’application $ T(K) \rightarrow \prod _\{v \in S\} T(K_\{v\})/T(O_\{v\})$ induite par l’application diagonale n’est pas surjective. Cela implique que pour $v$ convenable le groupe $T(O_\{v\})$ ne couvre pas forcément toutes les classes de $R$-équivalence de $T(K_\{v\})$. Lorsque $K$ est un corps de fonctions d’une variable sur un corps fini, en utilisant le même type de tore, nous montrons qu’une certaine constante rencontrée par D. Bourqui dans son étude de la fonction zêta des hauteurs des variétés toriques sur un tel corps n’est pas toujours égale à 1.},
affiliation = {Université Paris-Sud C.N.R.S., Mathématiques, UMR 8628 Bâtiment 425 91405 Orsay (France); P.O. Central University Department of Mathematics and Statistics Gachibowli Hyderabad 500 046 Andhra Pradesh (Inde)},
author = {Colliot-Thélène, Jean-Louis, Suresh, Venapally},
journal = {Annales de l’institut Fourier},
keywords = {Algebraic tori; weak approximation; R-equivalence; toric varieties; height zeta function; Peyre’s constant; function fields in one variable over a finite field},
language = {fre},
number = {1},
pages = {273-288},
publisher = {Association des Annales de l’institut Fourier},
title = {Quelques questions d’approximation faible pour les tores algébriques},
url = {http://eudml.org/doc/10221},
volume = {57},
year = {2007},
}

TY - JOUR
AU - Colliot-Thélène, Jean-Louis
AU - Suresh, Venapally
TI - Quelques questions d’approximation faible pour les tores algébriques
JO - Annales de l’institut Fourier
PY - 2007
PB - Association des Annales de l’institut Fourier
VL - 57
IS - 1
SP - 273
EP - 288
AB - Soient $K$ un corps global, $T$ un $K$-tore, $S$ un ensemble fini de places de $K$. On note $K_{v}$ le complété de $K$ en $v \in S$. Soit $T(K)$, resp. $T(K_{v})$, le groupe des points $K$-rationnels, resp. $K_{v}$-rationnels, de $T$. Notons $T(O_{v}) \subset T(K_{v})$ le sous-groupe compact maximal. Nous montrons que pour $T$ et $S$ convenables l’application $ T(K) \rightarrow \prod _{v \in S} T(K_{v})/T(O_{v})$ induite par l’application diagonale n’est pas surjective. Cela implique que pour $v$ convenable le groupe $T(O_{v})$ ne couvre pas forcément toutes les classes de $R$-équivalence de $T(K_{v})$. Lorsque $K$ est un corps de fonctions d’une variable sur un corps fini, en utilisant le même type de tore, nous montrons qu’une certaine constante rencontrée par D. Bourqui dans son étude de la fonction zêta des hauteurs des variétés toriques sur un tel corps n’est pas toujours égale à 1.
LA - fre
KW - Algebraic tori; weak approximation; R-equivalence; toric varieties; height zeta function; Peyre’s constant; function fields in one variable over a finite field
UR - http://eudml.org/doc/10221
ER -