Soit $A$ un anneau Notherien, local, Henselien, excellent, de corps résiduel $k$, $k$ étant ou algébriquement clos de caractéristique 0 ou un corps fini, $X\to SpecA$ un morphisme propre dont la fibre spéciale $X_0\to SpecA$ est de dimension au plus 1. Dans ce papier, nous complètons les résultats de [1] en montrant que si $X$ est régulier et si $L$ est un $X_{et}$-lien localement représentable par un groupe semi-simple simplement connexe, alors toutes les classes de $H^2(X_{et},L)$ sont neutres. Prenant pour $X$ un modèle régulier de $A$, nous...

Soit $F$ un polynôme en deux variables, de degré $D$ et à coefficients entiers dans $[-M,M]$ pour $M\ge 3$. Alors le nombre de zéros rationnels de $F$ est soit infini soit plus petit que $M^{2^{3^{D^2}}}$. Nous montrons aussi une version plus générale sur les corps de nombres.

Etant donnés $A_1,\cdots ,A_s$ ($s\ge 3$) des $S{L}_2\left(ℂ\right)$-modules non triviaux de dimensions respectives $n_1+1\ge \cdots \ge n_s+1$ (avec $n_1=n_2+\cdots +n_s$) et $\phi \in ℒ(A_2\otimes \cdots \otimes A_s,A_1^{*})$ un $S{L}_2\left(ℂ\right)$-homomorphisme, nous montrons que l’hyperdéterminant de $\phi$ est nul sauf si les modules $A_i$ sont irréductibles et si l’homomorphisme est la multiplication des polynômes homogènes à deux variables.

Le pgcd de quantités de la forme $a^n-1$ et $b^n-1$ a été étudié dans différentes situations. Dans la première partie de ce texte nous prouverons que si $a$ et $b$ appartiennent à ${𝔽}_q\left[T\right]$, le pgcd en question peut être borné indépendamment de $n$ dans de nombreux cas. Ceci répond en particulier à une question de J. Silverman. Dans la deuxième partie nous étudierons un problème analogue dans la situation des modules de Drinfeld.

Let Ω be a bounded pseudoconvex domain in ${ℂ}^n$ with $C^1$ boundary and let X be a complete intersection submanifold of Ω, defined by holomorphic functions $v_1,...,v_p$ (1 ≤ p ≤ n-1) smooth up to ∂Ω. We give sufficient conditions ensuring that a function f holomorphic in X (resp. in Ω, vanishing on X), and smooth up to the boundary, extends to a function g holomorphic in Ω and belonging to a given strongly non-quasianalytic Carleman class $l!M_l$ in $\overline{\Omega }$ (resp. satisfies $f=v_1{f}_1+...+v_p{f}_p$ with $f_1,...,f_p$ holomorphic in Ω and $l!M_l$-regular...

En admettant la conjecture de Dickson, nous démontrons que, pour chaque couple d’entiers $q\>0$ et $k\>0$, il existe une partie infinie $L_{q,k}\subset \mathbb{N}$ telle que, pour chacun des entiers $n\in L_{q,k}$ et tout entier $s$ tel que $0\<\left|s\right|\le q$, on ait $n+s=\left|s\right|t_1...t_k$ où $t_1\<...\<t_k$ sont des nombres premiers. De même, pour chaque couple d’entiers $q\>0$ et $k\>0$, il existe une partie infinie $M_{q,k}\subset \mathbb{N}$ telle que, pour chacun des entiers $n\in M_{q,k}$ et tout entier $s$ (nul ou non ) de l’intervalle $\left[-q,q\right]$, on ait $n+s=l{t}_1...t_k$ où $t_1\<...\<t_k$ sont des nombres premiers et l’entier $l$ appartient à l’intervalle $\left[1,2q+1\right]$. La lecture...