Extensions of a valuation and Newton polygon

Michel Vaquié[1]

  • [1] Université Paul Sabatier, Bât. 1R2 Institut de Mathématiques de Toulouse UMR CNRS 5219 31062 Toulouse Cedex 9 (France)

Annales de l’institut Fourier (2008)

  • Volume: 58, Issue: 7, page 2503-2541
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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Let ( K , ν ) be a valued field and L a finite cyclic extension of K defined by L = K [ x ] / ( P ) , then any valuation of L which extends ν defines a pseudo-valuation ζ on K [ x ] whose kernel is the principal ideal ( P ) . We know how to associate to ζ a family of valuations on K [ x ] , called an admissible family, which is explicitely constructed by augmented valuations and limit augmented valuations.We give a necessary and sufficient condition for a valuation of K [ x ] to belong to an admissible family associated to a pseudo-valuation ζ which corresponds to a valuation of L , this condition depends only on the polynomial P . On the way we can determine all the valuations of L which extend the valuation ν of K . To give this condition we define the Newton polygon associated to P , to a polynomial φ and to a valuation μ of K [ x ] .

How to cite

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Vaquié, Michel. "Extensions de valuation et polygone de Newton." Annales de l’institut Fourier 58.7 (2008): 2503-2541. <http://eudml.org/doc/10385>.

@article{Vaquié2008,
abstract = {Soient $(K,\nu )$ un corps valué et $L$ est une extension monogène finie de $K$ définie par $L=K[x]/(P)$, alors toute valuation de $L$ qui prolonge $\nu $ définit une pseudo-valuation $\zeta $ de $K[x]$ de noyau l’idéal $(P)$. Nous savons associer à $\zeta $ une famille de valuations de $K[x]$, appelée famille admissible, construite de façon explicite à partir de valuations augmentées et de valuations augmentées limites.Nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour qu’une valuation $\mu $ de $K[x]$ appartienne à la famille admissible associée à une pseudo-valuation $\zeta $ correspondant à une valuation de $L$, condition ne faisant pas intervenir $\zeta $ mais uniquement le polynôme $P$. Nous pouvons ainsi déterminer toutes les valuations de $L$ qui prolongent la valuation $\nu $ de $K$. Pour cela nous définissons le polygone de Newton associé à $P$, à un polynôme $\phi $ et à une valuation $\mu $, à partir du développement de $P$ selon les puissances de $\phi $.},
affiliation = {Université Paul Sabatier, Bât. 1R2 Institut de Mathématiques de Toulouse UMR CNRS 5219 31062 Toulouse Cedex 9 (France)},
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TY - JOUR
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VL - 58
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AB - Soient $(K,\nu )$ un corps valué et $L$ est une extension monogène finie de $K$ définie par $L=K[x]/(P)$, alors toute valuation de $L$ qui prolonge $\nu $ définit une pseudo-valuation $\zeta $ de $K[x]$ de noyau l’idéal $(P)$. Nous savons associer à $\zeta $ une famille de valuations de $K[x]$, appelée famille admissible, construite de façon explicite à partir de valuations augmentées et de valuations augmentées limites.Nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour qu’une valuation $\mu $ de $K[x]$ appartienne à la famille admissible associée à une pseudo-valuation $\zeta $ correspondant à une valuation de $L$, condition ne faisant pas intervenir $\zeta $ mais uniquement le polynôme $P$. Nous pouvons ainsi déterminer toutes les valuations de $L$ qui prolongent la valuation $\nu $ de $K$. Pour cela nous définissons le polygone de Newton associé à $P$, à un polynôme $\phi $ et à une valuation $\mu $, à partir du développement de $P$ selon les puissances de $\phi $.
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KW - Valuation; extension; Newton polygon
UR - http://eudml.org/doc/10385
ER -

References

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  5. M. Vaquié, Valuations, Resolution of Singularities - A Research Textbook in Tribute to Oscar Zariski 181 (2000), Birkhäuser Verlag Basel Zbl1003.13001MR1748614
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  7. M. Vaquié, Algèbre graduée associée à une valuation de K [ x ] , Advanced Studies in Pure Mathematics 46 (2007), 259-271 Zbl1127.12009MR2342895
  8. M. Vaquié, Extension d’une valuation, Trans. Amer. Math. Soc. 359 (2007), 3439-3481 Zbl1121.13006
  9. M. Vaquié, Famille admissible de valuations et défaut d’une extension, Jour. of Alg. 311 (2007), 859-876 Zbl1121.13007

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