Extensions of a valuation and Newton polygon

Michel Vaquié[1]

  • [1] Université Paul Sabatier, Bât. 1R2 Institut de Mathématiques de Toulouse UMR CNRS 5219 31062 Toulouse Cedex 9 (France)

Annales de l’institut Fourier (2008)

  • Volume: 58, Issue: 7, page 2503-2541
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

top
Let ( K , ν ) be a valued field and L a finite cyclic extension of K defined by L = K [ x ] / ( P ) , then any valuation of L which extends ν defines a pseudo-valuation ζ on K [ x ] whose kernel is the principal ideal ( P ) . We know how to associate to ζ a family of valuations on K [ x ] , called an admissible family, which is explicitely constructed by augmented valuations and limit augmented valuations.We give a necessary and sufficient condition for a valuation of K [ x ] to belong to an admissible family associated to a pseudo-valuation ζ which corresponds to a valuation of L , this condition depends only on the polynomial P . On the way we can determine all the valuations of L which extend the valuation ν of K . To give this condition we define the Newton polygon associated to P , to a polynomial φ and to a valuation μ of K [ x ] .

How to cite

top

Vaquié, Michel. "Extensions de valuation et polygone de Newton." Annales de l’institut Fourier 58.7 (2008): 2503-2541. <http://eudml.org/doc/10385>.

@article{Vaquié2008,
abstract = {Soient $(K,\nu )$ un corps valué et $L$ est une extension monogène finie de $K$ définie par $L=K[x]/(P)$, alors toute valuation de $L$ qui prolonge $\nu $ définit une pseudo-valuation $\zeta $ de $K[x]$ de noyau l’idéal $(P)$. Nous savons associer à $\zeta $ une famille de valuations de $K[x]$, appelée famille admissible, construite de façon explicite à partir de valuations augmentées et de valuations augmentées limites.Nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour qu’une valuation $\mu $ de $K[x]$ appartienne à la famille admissible associée à une pseudo-valuation $\zeta $ correspondant à une valuation de $L$, condition ne faisant pas intervenir $\zeta $ mais uniquement le polynôme $P$. Nous pouvons ainsi déterminer toutes les valuations de $L$ qui prolongent la valuation $\nu $ de $K$. Pour cela nous définissons le polygone de Newton associé à $P$, à un polynôme $\phi $ et à une valuation $\mu $, à partir du développement de $P$ selon les puissances de $\phi $.},
affiliation = {Université Paul Sabatier, Bât. 1R2 Institut de Mathématiques de Toulouse UMR CNRS 5219 31062 Toulouse Cedex 9 (France)},
author = {Vaquié, Michel},
journal = {Annales de l’institut Fourier},
keywords = {Valuation; extension; Newton polygon},
language = {fre},
number = {7},
pages = {2503-2541},
publisher = {Association des Annales de l’institut Fourier},
title = {Extensions de valuation et polygone de Newton},
url = {http://eudml.org/doc/10385},
volume = {58},
year = {2008},
}

TY - JOUR
AU - Vaquié, Michel
TI - Extensions de valuation et polygone de Newton
JO - Annales de l’institut Fourier
PY - 2008
PB - Association des Annales de l’institut Fourier
VL - 58
IS - 7
SP - 2503
EP - 2541
AB - Soient $(K,\nu )$ un corps valué et $L$ est une extension monogène finie de $K$ définie par $L=K[x]/(P)$, alors toute valuation de $L$ qui prolonge $\nu $ définit une pseudo-valuation $\zeta $ de $K[x]$ de noyau l’idéal $(P)$. Nous savons associer à $\zeta $ une famille de valuations de $K[x]$, appelée famille admissible, construite de façon explicite à partir de valuations augmentées et de valuations augmentées limites.Nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour qu’une valuation $\mu $ de $K[x]$ appartienne à la famille admissible associée à une pseudo-valuation $\zeta $ correspondant à une valuation de $L$, condition ne faisant pas intervenir $\zeta $ mais uniquement le polynôme $P$. Nous pouvons ainsi déterminer toutes les valuations de $L$ qui prolongent la valuation $\nu $ de $K$. Pour cela nous définissons le polygone de Newton associé à $P$, à un polynôme $\phi $ et à une valuation $\mu $, à partir du développement de $P$ selon les puissances de $\phi $.
LA - fre
KW - Valuation; extension; Newton polygon
UR - http://eudml.org/doc/10385
ER -

References

top
  1. S. MacLane, A construction for absolute values in polynomial rings, Trans. Amer. Math. Soc. 40 (1936), 363-395 Zbl62.1106.02MR1501879
  2. S. MacLane, A construction for prime ideals as absolute values of an algebraic field, Duke Math. J. 2 (1936), 492-510 Zbl62.0096.02MR1545943
  3. M. Raynaud, Anneaux Locaux Henséliens, Lect. Notes in Math. 169 (1970), Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New-York Zbl0203.05102MR277519
  4. M. Vaquié, Extension de valuation et famille admise Zbl1170.13003
  5. M. Vaquié, Valuations, Resolution of Singularities - A Research Textbook in Tribute to Oscar Zariski 181 (2000), Birkhäuser Verlag Basel Zbl1003.13001MR1748614
  6. M. Vaquié, Famille admise associée à une valuation de K [ x ] , Singularités franco-japonaises 10 (2005), Fr.Soc. Math.S. M. Zbl1097.13004MR2145967
  7. M. Vaquié, Algèbre graduée associée à une valuation de K [ x ] , Advanced Studies in Pure Mathematics 46 (2007), 259-271 Zbl1127.12009MR2342895
  8. M. Vaquié, Extension d’une valuation, Trans. Amer. Math. Soc. 359 (2007), 3439-3481 Zbl1121.13006
  9. M. Vaquié, Famille admissible de valuations et défaut d’une extension, Jour. of Alg. 311 (2007), 859-876 Zbl1121.13007

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.