Capitulation of 2 -class ideals of Q ( - p q ( 2 + 2 ) ) where p ≡ q ≡ ± 5 mod 8

Abdelmalek Azizi[1]; Mohammed Talbi[1]

  • [1] Département de Mathématiques Faculté des Sciences Université Mohamed 1 Oujda MAROC

Annales mathématiques Blaise Pascal (2009)

  • Volume: 16, Issue: 1, page 57-69
  • ISSN: 1259-1734

Abstract

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Let K = Q ( - p q ( 2 + 2 ) ) where p and q are two different prime numbers such that p ≡ q ≡ ± 5 mod 8 , K 2 ( 1 ) the Hilbert 2 -class field of K , K 2 ( 2 ) the Hilbert 2 -class field of K 2 ( 1 ) and G the Galois group of K 2 ( 2 ) / K . According to [4], C 2 , K , the Sylow 2 -subgroup of the ideal class group of K is isomorphic to Z / 2 Z × Z / 2 Z , consequently K 2 ( 1 ) / K contains three extensions F i / K ( i = 1 , 2 , 3 ) . In this paper, we are interested in the problem of capitulation of the classes of C 2 , K in F i ( i = 1 , 2 , 3 ) and to determine the structure of G .

How to cite

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Azizi, Abdelmalek, and Talbi, Mohammed. "Capitulation des $2$-classes d’idéaux de $\mathbf{Q}(\sqrt{-pq(2+\sqrt{2})})$ où $p\equiv q\equiv \pm 5\;\@mod \;8$." Annales mathématiques Blaise Pascal 16.1 (2009): 57-69. <http://eudml.org/doc/10572>.

@article{Azizi2009,
abstract = {Soient $\{\mathbf\{K\}\}=\mathbf\{Q\}(\sqrt\{-pq(2+\sqrt\{2\})\})$ où $p$ et $q$ deux nombres premiers différents tels que $p\equiv q\equiv \pm 5\;\@mod \;8$, $\{\mathbf\{K\}\}_2^\{(1)\}$ le $2$-corps de classes de Hilbert de $\{\mathbf\{K\}\}$, $\{\mathbf\{K\}\}_2^\{(2)\}$ le $2$-corps de classes de Hilbert de $\{\mathbf\{K\}\}_2^\{(1)\}$ et $G$ le groupe de Galois de $\{\mathbf\{K\}\}_2^\{(2)\}/K$. D’après [4], la $2$-partie $C_\{2,\{\mathbf\{K\}\}\}$ du groupe de classes de $\{\mathbf\{K\}\}$ est de type $(2,2)$, par suite $\{\mathbf\{K\}\}_2^\{(1)\}$ contient trois extensions $\{\mathbf\{F\}\}_i/\{\mathbf\{K\}\}$ ; $i=1,2,3$. Dans ce papier, on s’interesse au problème de capitulation des $2$-classes d’idéaux de $\{\mathbf\{K\}\}$ dans $\{\mathbf\{F\}\}_i$$(i=1,2,3)$ et à déterminer la structure de $G$.},
affiliation = {Département de Mathématiques Faculté des Sciences Université Mohamed 1 Oujda MAROC; Département de Mathématiques Faculté des Sciences Université Mohamed 1 Oujda MAROC},
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TY - JOUR
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References

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  1. A. Azizi, Unités de certains corps de nombres imaginaires et abéliens sur Q , Annales des Sciences Mathématiques du Québec 23 (1999), 15-21 Zbl1041.11072MR1721726
  2. A. Azizi, Capitulation des 2 -classes d’idéaux de Q ( 2 p q , i ) , Acta Arithmetica 94 (2000), 383-399 Zbl0953.11033MR1779950
  3. A. Azizi, A. Mouhib, Capitulation des 2-classes d’idéaux de Q ( 2 , d ) où d est un entier naturel sans facteurs carrés, Acta Arithmetica 109 (2003), 27-63 Zbl1077.11078MR1980850
  4. E. Brown, C. J. Parry, The 2 -class group of certain biquadratic number fields, II, Pac. Jour. of Math. 78 (1978), 11-26 Zbl0405.12009MR513279
  5. H. Hasse, Neue Begründung der Theorie des Normenrestsymbols, J. Reine Angew. Math. 162 (1930), 134-143 Zbl56.0165.02
  6. F. P. Heider, B. Schmithals, Zur Kapitulation der Idealklassen in unverzweigten Primzyklischen Erweiterungen, J. Reine Angew. Math. 366 (1982), 1-25 Zbl0505.12016MR671319
  7. P. Kaplan, Sur le 2 -groupe des classes d’idéaux des corps quadratiques, J. Reine Angew. Math. 283/284 (1976), 313-363 Zbl0337.12003MR404206
  8. H. Kisilevsky, Number fields with class number congruent to 4 mod 8 and Hilbert’s theorem 94 , J. Number Theory 8 (1976), 271-279 Zbl0334.12019MR417128
  9. S. Kuroda, Über den Dirichletschen Zahlkörper, J. Fac. Sci. Imp. Univ. Tokyo Sec. I 4 (1943), 383-406 Zbl0061.05901MR21031
  10. F. Lemmermeyer, Kuroda’s class number formula, Acta Arith. 66 (1994), 245-260 Zbl0807.11052MR1276992
  11. H. Wada, On the class number and the unit group of certain algebraic number fields, Tokyo U. Fac. of Sc. J., Serie I 13 (1966), 201-209 Zbl0158.30103MR214565

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