Optimization of the Ax-Sen-Tate theorem applied to a computation in p -adic Galois cohomology

Jérémy Le Borgne[1]

  • [1] Université de Rennes 1 IRMAR Campus de Beaulieu 35042 Rennes Cedex (France)

Annales de l’institut Fourier (2010)

  • Volume: 60, Issue: 3, page 1105-1123
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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Let K be a p -adic field, G its absolute Galois group and v the valuation on C p . In his proof of the Ax-Sen-Tate theorem, Ax shows that if for some A ∈ R , x ∈ C p satisfies v ( σ x - x ) ≥ A for all σ ∈ G , then there exists y ∈ K such that v ( x - y ) ≥ A - c , with c = p / ( p - 1 ) 2 . Ax questions the optimality of the constant c , which we study here. Using the extension of K generated by p m -th roots of a fixed uniformizer of K , we find the optimal constant and some more information about those elements in C p satisfying v ( σ x - x ) ≥ A for all σ ∈ G , which allows us to give a description the first cohomology group of G with coefficients in the ring of integers of K .

How to cite

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Le Borgne, Jérémy. "Optimisation du théorème d’Ax-Sen-Tate et application à un calcul de cohomologie galoisienne $p$-adique." Annales de l’institut Fourier 60.3 (2010): 1105-1123. <http://eudml.org/doc/116290>.

@article{LeBorgne2010,
abstract = {Soit $K$ un corps $p$-adique, $G$ son groupe de Galois absolu et $v$ la valuation sur $\mathbf\{C\}_p$. Dans sa démonstration du théorème d’Ax-Sen-Tate, Ax montre que si pour un $A\in \mathbf\{R\}$, $x \in \mathbf\{C\}_p$ vérifie $v(\sigma x -x) \ge A$ pour tout $\sigma \in G$, alors il existe $y \in K$ tel que $v(x-y) \ge A - c$, avec $c = p/(p-1)^2$. Ax se pose la question de l’optimalité de la constante $c$, que nous étudions ici. En utilisant l’extension de $K$ engendrée par les racines $p^m$-es d’une uniformisante fixée de $K$, nous déterminons la constante optimale, ainsi que des informations supplémentaires sur les $x \in \mathbf\{C\}_p$ tels que $v(\sigma x -x) \ge A$ pour tout $\sigma \in G$, ce qui nous permet de donner une description du premier groupe de cohomologie de $G$ à coefficients dans l’anneau des entiers de $K$.},
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References

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