Commentaires sur quelques résultats sur les nombres de Pisot

Toufik Zaimi[1]

  • [1] Département de mathématiques Université Larbi Ben M’hidi Oum El Bouaghi 04000, Algérie

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux (2010)

  • Volume: 22, Issue: 2, page 513-524
  • ISSN: 1246-7405

Abstract

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Comments on some results about Pisot numbers.Using some results of Yves Meyer on harmonious sets, we prove that a real number θ > 1 is a Pisot number if and only if A [ θ ] ∪ ( - A [ θ ] ) , where A [ θ ] is the set of polynomials with coefficients in { 0 , 1 , . . . , [ θ ] } evaluated at θ , is a Meyer set. This allows us to deduce certain related results of Y. Bugeaud or P. Erdös and V. Komornik. By the same tools we also show that for ε ∈ ] 0 , 1 ] , the set of ε -Pisot numbers which are contained in a real algebraic number field K and have the same degree as K , is a Meyer set.

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Zaimi, Toufik. "Commentaires sur quelques résultats sur les nombres de Pisot." Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux 22.2 (2010): 513-524. <http://eudml.org/doc/116417>.

@article{Zaimi2010,
abstract = {Soit $\theta $ un nombre réel, avec $\theta &gt;1,$ et soit $A_\{[\theta ]\}$ l’ensemble des nombres $P(\theta )$ pour $P$ décrivant les polynômes à coefficients dans $\lbrace 0,1,...,[\theta ]\rbrace .$ En utilisant des résultats d’Yves Meyer sur les ensembles harmonieux, on montre que $\theta $ est un nombre de Pisot si et seulement si l’ensemble $A_\{[\theta ]\}\cup (-A_\{[\theta ]\})$ est un ensemble de Meyer, et on déduit quelques résultats déjà prouvés par Y. Bugeaud ou P. Erdös et V. Komornik, sur le spectre des nombres de Pisot. Les mêmes outils permettent aussi de montrer que pour $\varepsilon \in ]0,1],$ les $\varepsilon $-nombres de Pisot appartenant à un corps de nombres algébriques réel $K,$ et de degré égal à celui de $K,$ forment un ensemble de Meyer.},
affiliation = {Département de mathématiques Université Larbi Ben M’hidi Oum El Bouaghi 04000, Algérie},
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TY - JOUR
AU - Zaimi, Toufik
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JO - Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux
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PB - Université Bordeaux 1
VL - 22
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AB - Soit $\theta $ un nombre réel, avec $\theta &gt;1,$ et soit $A_{[\theta ]}$ l’ensemble des nombres $P(\theta )$ pour $P$ décrivant les polynômes à coefficients dans $\lbrace 0,1,...,[\theta ]\rbrace .$ En utilisant des résultats d’Yves Meyer sur les ensembles harmonieux, on montre que $\theta $ est un nombre de Pisot si et seulement si l’ensemble $A_{[\theta ]}\cup (-A_{[\theta ]})$ est un ensemble de Meyer, et on déduit quelques résultats déjà prouvés par Y. Bugeaud ou P. Erdös et V. Komornik, sur le spectre des nombres de Pisot. Les mêmes outils permettent aussi de montrer que pour $\varepsilon \in ]0,1],$ les $\varepsilon $-nombres de Pisot appartenant à un corps de nombres algébriques réel $K,$ et de degré égal à celui de $K,$ forment un ensemble de Meyer.
LA - fre
KW - Pisot numbers
UR - http://eudml.org/doc/116417
ER -

References

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  4. A. H. Fan and J. Schmeling, ε -Pisot numbers in any real algebraic number field are relatively dense. J. Algebra 272 (2004), 470–475. Zbl1043.11074MR2028068
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  6. Y. Meyer, Algebraic numbers and harmonic analysis. North-Holland, 1972. Zbl0267.43001MR485769
  7. R. V. Moody, Meyer sets and their duals. The Mathematics of Long-Range Aperiodic Order, R. V. Moody, Ed., Kluwer 1997, 403–442. Zbl0880.43008MR1460032
  8. T. Zaïmi, On an approximation property of Pisot numbers II. J. Théor. Nombres Bordeaux 16 (2004), 239–249. Zbl1096.11037MR2145586

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