A propos de la relation galoisienne x 1 = x 2 + x 3

Franck Lalande[1]

  • [1] 38, grande rue 89140 Gisy les nobles, France

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux (2010)

  • Volume: 22, Issue: 3, page 661-673
  • ISSN: 1246-7405

Abstract

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About the Galois relation x 1 = x 2 + x 3 Let k be a field of characteristic 0 . The existence of an irreducible polynomial f over k whose roots satisfy the linear relation x 1 = x 2 + x 3 exclusively depends on the pair ( G , H ) where G = Gal k ( f ) and H ⊂ G is the stabilizer of one root. The regular case ( H = 1 ) is now well understood. In the present paper, we consider the primitive case ( H maximal subgroup of G ) and show that we can’t find this linear relation when the pair ( G , H ) is primitive of a degree ≤ 50 .An appendix of Joseph Oesterlé shows that we can find this relation for any pair ( G , 1 ) in which 6 divides the order of G .

How to cite

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Lalande, Franck. "A propos de la relation galoisienne $x_1=x_2+x_3$." Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux 22.3 (2010): 661-673. <http://eudml.org/doc/116426>.

@article{Lalande2010,
abstract = {L’existence d’un polynôme $f$, irréductible sur un corps $k$ de caractéristique $0$ et dont trois racines vérifient la relation linéaire $x_1=x_2+x_3$, ne dépend que de la paire de groupes finis $(G,H)$ où $G=\{\rm Gal\}_k(f)$ et $H\subset G$ est le fixateur d’une racine. Le cas régulier ($H=1$) est désormais assez bien décrit. On démontre dans ce texte que pour de nombreuses paires $(G,H)$ primitives ($H$ sous-groupe maximal de $G$) et en particulier pour toutes celles de degré $\le 50$, la relation $x_1=x_2+x_3$ n’est pas réalisable.En appendice, Joseph Oesterlé démontre que cette relation linéaire est réalisable pour la paire $(G,1)$ dès que $6$ divise l’ordre de $G$.},
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author = {Lalande, Franck},
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TY - JOUR
AU - Lalande, Franck
TI - A propos de la relation galoisienne $x_1=x_2+x_3$
JO - Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux
PY - 2010
PB - Université Bordeaux 1
VL - 22
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SP - 661
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AB - L’existence d’un polynôme $f$, irréductible sur un corps $k$ de caractéristique $0$ et dont trois racines vérifient la relation linéaire $x_1=x_2+x_3$, ne dépend que de la paire de groupes finis $(G,H)$ où $G={\rm Gal}_k(f)$ et $H\subset G$ est le fixateur d’une racine. Le cas régulier ($H=1$) est désormais assez bien décrit. On démontre dans ce texte que pour de nombreuses paires $(G,H)$ primitives ($H$ sous-groupe maximal de $G$) et en particulier pour toutes celles de degré $\le 50$, la relation $x_1=x_2+x_3$ n’est pas réalisable.En appendice, Joseph Oesterlé démontre que cette relation linéaire est réalisable pour la paire $(G,1)$ dès que $6$ divise l’ordre de $G$.
LA - fre
UR - http://eudml.org/doc/116426
ER -

References

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