Caractérisation d'un ensemble généralisant l'ensemble des nombres de Pisot
Acta Arithmetica (1998)
- Volume: 87, Issue: 2, page 141-144
- ISSN: 0065-1036
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topToufik Zaïmi. "Caractérisation d'un ensemble généralisant l'ensemble des nombres de Pisot." Acta Arithmetica 87.2 (1998): 141-144. <http://eudml.org/doc/207209>.
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abstract = {1. Introduction. Soient K un corps de nombres et θ un entier algébrique de module > 1 et de polynôme minimal Irr(θ,K,z) sur K. Alors θ est dit K-nombre de Pisot si pour tout plongement σ de K dans ℂ le polynôme σIrr(θ,K,z) possède une unique racine de module > 1 et aucune racine de module 1. Ces nombres ont été définis par A. M. Bergé et J. Martinet [2]. Comme dans [2], on représente un K-nombre de Pisot θ dans l’algèbre $A = ℝ^\{r₁\} × ℂ^\{r₂\}$, où (r₁,r₂) désigne la signature du corps K, par la suite $(θ_σ)_σ$ de ses conjugués de module > 1 et on note $S_K$ leur ensemble dans A. D’après le théorème 1 de [7], l’ensemble $S_K$ est fermé dans A seulement lorsque K = ℚ ou bien K = ℚ(√d) où d ∈ ℤ¯. On peut espérer obtenir dans A un ensemble fermé d’entiers algébriques généralisant l’ensemble $S_ℚ$ en rajoutant aux éléments de $S_K$ les points limites suivant la preuve du théorème 1 de [7] et l’on obtient alors un ensemble $Σ_K$ qu’on peut définir comme étant l’ensemble des entiers algébriques θ de module > 1 tels que pour tout plongement σ le polynôme σIrr(θ,K,z) admet au plus une racine de module > 1 et aucune racine de module 1. L’ensemble $Σ_K$ coïncide avec l’ensemble $S_K$ seulement lorsque K = ℚ ou bien K = ℚ(√d) où d < 0 et dans ces cas il est fermé. On donne ici une caractérisation de cet ensemble.},
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JO - Acta Arithmetica
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AB - 1. Introduction. Soient K un corps de nombres et θ un entier algébrique de module > 1 et de polynôme minimal Irr(θ,K,z) sur K. Alors θ est dit K-nombre de Pisot si pour tout plongement σ de K dans ℂ le polynôme σIrr(θ,K,z) possède une unique racine de module > 1 et aucune racine de module 1. Ces nombres ont été définis par A. M. Bergé et J. Martinet [2]. Comme dans [2], on représente un K-nombre de Pisot θ dans l’algèbre $A = ℝ^{r₁} × ℂ^{r₂}$, où (r₁,r₂) désigne la signature du corps K, par la suite $(θ_σ)_σ$ de ses conjugués de module > 1 et on note $S_K$ leur ensemble dans A. D’après le théorème 1 de [7], l’ensemble $S_K$ est fermé dans A seulement lorsque K = ℚ ou bien K = ℚ(√d) où d ∈ ℤ¯. On peut espérer obtenir dans A un ensemble fermé d’entiers algébriques généralisant l’ensemble $S_ℚ$ en rajoutant aux éléments de $S_K$ les points limites suivant la preuve du théorème 1 de [7] et l’on obtient alors un ensemble $Σ_K$ qu’on peut définir comme étant l’ensemble des entiers algébriques θ de module > 1 tels que pour tout plongement σ le polynôme σIrr(θ,K,z) admet au plus une racine de module > 1 et aucune racine de module 1. L’ensemble $Σ_K$ coïncide avec l’ensemble $S_K$ seulement lorsque K = ℚ ou bien K = ℚ(√d) où d < 0 et dans ces cas il est fermé. On donne ici une caractérisation de cet ensemble.
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UR - http://eudml.org/doc/207209
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References
top- [1] B. Benzaghou, Anneaux de Fatou, Séminaire Delange-Pisot-Poitou, Théorie des nombres, 9-ième année (1968/69), no. 9, 8 p.
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- [4] C. Pisot, La répartition modulo 1 et les nombres algébriques, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 7 (1938), 205-248. Zbl64.0994.01
- [5] T. Vijayaraghavan, On the fractional parts of the powers of a number (II), Proc. Cambridge Philos. Soc. 37 (1941), 349-357. Zbl67.0988.02
- [6] T. Zaïmi, Sur les nombres de Pisot relatifs, thèse de l'université Paris 6, Mai 1994.
- [7] T. Zaïmi, Sur la fermeture de l'ensemble des K -nombres de Pisot, Acta Arith. 83 (1998), 363-367.
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