Majoration du premier zéro de la fonction zêta de Dedekind

Sami Omar

Acta Arithmetica (2000)

  • Volume: 95, Issue: 1, page 61-65
  • ISSN: 0065-1036

Abstract

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1. Introduction et notations. Soit K un corps de nombres de degré n, de signature ( r 1 , r 2 ) et de discriminant d K . Dans [Od], A. M. Odlyzko évoque le problème de savoir l’ordre de grandeur du premier zéro de la fonction zêta de Dedekind. Dans cette direction, une conjecture a été énoncée dans [To] qui dit que la hauteur du premier zéro est majorée par C / l n ( | d K | ) où C est une constante positive qui ne dépend que de n. L’idée de cette dernière inégalité provient d’un théorème de densité (sous GRH) dû a S. Lang [La1]. Malgré les progrés numériques sur la question (voir [Om] et [To]), nous ne sommes toujours pas en mesure de confirmer expérimentalement cette conjecture. Cependant nous disposons d’un résultat théorique dû à A. Neugebauer [Ne1], [Ne2] qui montre que la hauteur du premier zéro est majorée par C / l n l n l n ( | d K | ) . Dans ce qui suit nous donnerons une amélioration de cette inégalité qui sous (GRH) aboutit à la majoration C / l n l n ( | d K | ) . L’outil crucial de la preuve, comme nous le verrons, sont les formules explicites de Weil. Dans la suite, la notation ≪ réfère à une constante absolue alors que la notation ≪ n réfère à une constante qui dépend uniquement de n.

How to cite

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Sami Omar. "Majoration du premier zéro de la fonction zêta de Dedekind." Acta Arithmetica 95.1 (2000): 61-65. <http://eudml.org/doc/207441>.

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References

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