Sub-logarithmic Heegaard gradients of a hyperbolic three-manifold and virtual fibers

Claire Renard[1]

  • [1] tabacckludge ’Ecole Normale Supérieure de Cachan, Centre de Mathématiques et de Leurs Applications. 61 avenue du président Wilson F-94235 CACHAN CEDEX.

Séminaire de théorie spectrale et géométrie (2010-2011)

  • Volume: 29, page 97-131
  • ISSN: 1624-5458

Abstract

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J. Maher has proven that a closed, connected and orientable hyperbolic 3-manifold M virtually fibers over the circle if and only if it admits an infinite family of finite covers with bounded Heegaard genus. Building on Maher’s proof, we present in this article a theorem giving a sufficient condition for a finite cover of a closed hyperbolic 3-manifold to contain a virtual fiber in terms of the covering degree d and the Heegaard genus of the cover. We introduce sub-logarithmic versions of Lackenby’s infimal Heegaard gradients. In this setting, we expose the analogues of Lackenby’s Heegaard gradient and strong Heegaard gradient conjectures.

How to cite

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Renard, Claire. "Gradients de Heegaard sous-logarithmiques d’une variété hyperbolique de dimension trois et fibres virtuelles." Séminaire de théorie spectrale et géométrie 29 (2010-2011): 97-131. <http://eudml.org/doc/219766>.

@article{Renard2010-2011,
abstract = {J. Maher a montré qu’une variété hyperbolique de dimension $3$ compacte sans bord, connexe et orientable fibre virtuellement sur le cercle si et seulement si elle admet une famille infinie de revêtements finis de genre de Heegaard borné. En s’appuyant sur la démonstration de Maher, cet article présente un théorème donnant une condition suffisante pour qu’un revêtement fini d’une variété hyperbolique compacte de dimension $3$ contienne une fibre virtuelle, qui s’exprime en fonction du degré $d$ du revêtement et de son genre de Heegaard. On introduit des versions sous-logarithmiques des gradients de Heegaard de Lackenby. Dans ce contexte, on propose des analogues aux conjectures du gradient de Heegaard et du gradient de Heegaard fort de Lackenby.},
affiliation = {tabacckludge ’Ecole Normale Supérieure de Cachan, Centre de Mathématiques et de Leurs Applications. 61 avenue du président Wilson F-94235 CACHAN CEDEX.},
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References

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  1. Michel Boileau, Sylvain Maillot, Joan Porti, Three-dimensional orbifolds and their geometric structures, 15 (2003), Société Mathématique de France, Paris Zbl1058.57009MR2060653
  2. Francis Bonahon, Jean-Pierre Otal, Scindements de Heegaard des espaces lenticulaires, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 16 (1983), 451-466 (1984) Zbl0545.57002MR740078
  3. A. J. Casson, C. McA. Gordon, Reducing Heegaard splittings, Topology Appl. 27 (1987), 275-283 Zbl0632.57010MR918537
  4. Tobias H. Colding, Camillo De Lellis, The min-max construction of minimal surfaces, Surveys in differential geometry, Vol. VIII (Boston, MA, 2002) (2003), 75-107, Int. Press, Somerville, MA Zbl1051.53052MR2039986
  5. Michael Freedman, Joel Hass, Peter Scott, Least area incompressible surfaces in 3 -manifolds, Invent. Math. 71 (1983), 609-642 Zbl0482.53045MR695910
  6. Charles Frohman, Joel Hass, Unstable minimal surfaces and Heegaard splittings, Invent. Math. 95 (1989), 529-540 Zbl0678.57009MR979363
  7. David Gabai, Foliations and the topology of 3 -manifolds, J. Differential Geom. 18 (1983), 445-503 Zbl0533.57013MR723813
  8. Wolfgang Haken, Some results on surfaces in 3 -manifolds, Studies in Modern Topology (1968), 39-98, Math. Assoc. Amer. (distributed by Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J.) Zbl0194.24902MR224071
  9. Allen Hatcher, Notes on basic three-manifolds topology, (2002) Zbl1044.55001
  10. John Hempel, 3 -Manifolds, (1976), Princeton University Press, Princeton, N. J. Zbl0345.57001
  11. William Jaco, Lectures on three-manifold topology, 43 (1980), American Mathematical Society, Providence, R.I. Zbl0433.57001MR565450
  12. Marc Lackenby, The asymptotic behaviour of Heegaard genus, Math. Res. Lett. 11 (2004), 139-149 Zbl1063.57002MR2067463
  13. Marc Lackenby, Heegaard splittings, the virtually Haken conjecture and property ( τ ) , Invent. Math. 164 (2006), 317-359 Zbl1110.57015MR2218779
  14. Joseph Maher, Heegaard gradient and virtual fibers, Geom. Topol. 9 (2005), 2227-2259 (electronic) Zbl1100.57002MR2209371
  15. Edwin E. Moise, Affine structures in 3 -manifolds. V. The triangulation theorem and Hauptvermutung, Ann. of Math. (2) 56 (1952), 96-114 Zbl0048.17102MR48805
  16. Jean-Pierre Otal, Sur les scindements de Heegaard de la sphère S 3 , Topology 30 (1991), 249-257 Zbl0792.57008MR1098919
  17. Jon T. Pitts, Existence and regularity of minimal surfaces on Riemannian manifolds, 27 (1981), Princeton University Press, Princeton, N.J. Zbl0462.58003MR626027
  18. Jon T. Pitts, J. H. Rubinstein, Existence of minimal surfaces of bounded topological type in three-manifolds, Miniconference on geometry and partial differential equations (Canberra, 1985) 10 (1986), 163-176, Austral. Nat. Univ., Canberra Zbl0602.49028MR857665
  19. Claire Renard, Revêtements finis d’une variété hyperbolique de dimension trois et fibres virtuelles. 
  20. Colin Patrick Rourke, Brian Joseph Sanderson, Introduction to piecewise-linear topology, (1982), Springer-Verlag, Berlin Zbl1045.00006MR665919
  21. Martin Scharlemann, Heegaard splittings of compact 3-manifolds, Handbook of geometric topology (2002), 921-953, North-Holland, Amsterdam Zbl0985.57005MR1886684
  22. Martin Scharlemann, Abigail Thompson, Heegaard splittings of ( surface ) × I are standard, Math. Ann. 295 (1993), 549-564 Zbl0814.57010MR1204837
  23. Martin Scharlemann, Abigail Thompson, Thin position for 3 -manifolds, Geometric topology (Haifa, 1992) 164 (1994), 231-238, Amer. Math. Soc., Providence, RI Zbl0818.57013MR1282766
  24. L. C. Siebenmann, Les bissections expliquent le théorème de Reidemeister-Singer, Prépublications d’Orsay 80 (1979) 
  25. Juan Souto, Geometry, Heegaard splittings and rank of the fundamental group of hyperbolic 3-manifolds, Workshop on Heegaard Splittings 12 (2007), 351-399, Geom. Topol. Publ., Coventry Zbl1138.57022MR2408255
  26. William P. Thurston, Three dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry., The mathematical heritage of Henri Poincare, Proc. Symp. Pure Math. 39, Part 1, Bloomington/Indiana 1980, 87-111 (1983). (1983) Zbl0528.57009MR648524
  27. Friedhelm Waldhausen, Heegaard-Zerlegungen der 3 -Sphäre, Topology 7 (1968), 195-203 Zbl0157.54501MR227992
  28. Friedhelm Waldhausen, On irreducible 3 -manifolds which are sufficiently large, Ann. of Math. (2) 87 (1968), 56-88 Zbl0157.30603MR224099

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