Sur les nombres premiers généralisés de Beurling. Preuve d'une conjecture de Bateman et Diamond

@article{Kahane1997,
abstract = {Soit $P$ une partie discrète et multiplicativement libre de la demi-droite ouverte $]1,\infty [$, et $N$ le semi-groupe unitaire engendré par $P$. Les éléments de $P$ s’appellent nombres premiers généralisés et ceux de $N$ entiers généralisés. Les fonctions de décompte correspondantes sont désignées $P(x)$ et $N(x$). Le problème de Beurling consiste à donner des conditions sur $N(x)$ qui entrainent le “ théorème des nombres premiers ” $P(x) \sim x / \log x (x \rightarrow \infty )$. En posant $N(x) = Dx + x \epsilon (x)$, la condition de Beurling est $\epsilon (x) = O((\log x)^\{- a\})$ avec $a > \frac\{3\}\{2\}$, et il y a un contre-exemple avec $a = \frac\{3\}\{2\}$. L’article montre que la condition $\epsilon (x)\log x \in L^2(\mathbb \{R\}^+, dx/x)$ est suffisante, comme l’avaient conjecturé Bateman et Diamond.},
author = {Kahane, Jean-Pierre},
journal = {Journal de théorie des nombres de Bordeaux},
keywords = {generalized prime numbers; Beurling algebra; Wiener algebra; Sobolev algebra},
language = {fre},
number = {2},
pages = {251-266},
publisher = {Université Bordeaux I},
title = {Sur les nombres premiers généralisés de Beurling. Preuve d'une conjecture de Bateman et Diamond},
url = {http://eudml.org/doc/247998},
volume = {9},
year = {1997},
}

TY - JOUR
AU - Kahane, Jean-Pierre
TI - Sur les nombres premiers généralisés de Beurling. Preuve d'une conjecture de Bateman et Diamond
JO - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY - 1997
PB - Université Bordeaux I
VL - 9
IS - 2
SP - 251
EP - 266
AB - Soit $P$ une partie discrète et multiplicativement libre de la demi-droite ouverte $]1,\infty [$, et $N$ le semi-groupe unitaire engendré par $P$. Les éléments de $P$ s’appellent nombres premiers généralisés et ceux de $N$ entiers généralisés. Les fonctions de décompte correspondantes sont désignées $P(x)$ et $N(x$). Le problème de Beurling consiste à donner des conditions sur $N(x)$ qui entrainent le “ théorème des nombres premiers ” $P(x) \sim x / \log x (x \rightarrow \infty )$. En posant $N(x) = Dx + x \epsilon (x)$, la condition de Beurling est $\epsilon (x) = O((\log x)^{- a})$ avec $a > \frac{3}{2}$, et il y a un contre-exemple avec $a = \frac{3}{2}$. L’article montre que la condition $\epsilon (x)\log x \in L^2(\mathbb {R}^+, dx/x)$ est suffisante, comme l’avaient conjecturé Bateman et Diamond.
LA - fre
KW - generalized prime numbers; Beurling algebra; Wiener algebra; Sobolev algebra
UR - http://eudml.org/doc/247998
ER -