Sur les nombres premiers généralisés de Beurling. Preuve d'une conjecture de Bateman et Diamond

Jean-Pierre Kahane

Journal de théorie des nombres de Bordeaux (1997)

  • Volume: 9, Issue: 2, page 251-266
  • ISSN: 1246-7405

Abstract

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Given P , a discrete and multiplicatively free subset of the open half line ] 1 , [ , let N be the multiplicative semigroup generated by 1 and P . The elements of P resp. N are called generalized primes resp. integers. The counting functions are denoted by P ( x ) and N ( x ) . Beurling’s problem is to give conditions on N ( x ) which imply the “prime number theorem” P ( x ) x / log x ( x ) . Assuming N ( x ) = D x + x ϵ ( x ) ( ϵ 0 ) , Beurling’s condition is ϵ ( x ) = O ( ( log x ) - a ) with a > 3 2 , and a = 3 2 does not work. The article proves that the condition ϵ ( x ) log x L 2 ( + , d x / x ) is sufficient, as conjectured by Bateman and Diamond.

How to cite

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Kahane, Jean-Pierre. "Sur les nombres premiers généralisés de Beurling. Preuve d'une conjecture de Bateman et Diamond." Journal de théorie des nombres de Bordeaux 9.2 (1997): 251-266. <http://eudml.org/doc/247998>.

@article{Kahane1997,
abstract = {Soit $P$ une partie discrète et multiplicativement libre de la demi-droite ouverte $]1,\infty [$, et $N$ le semi-groupe unitaire engendré par $P$. Les éléments de $P$ s’appellent nombres premiers généralisés et ceux de $N$ entiers généralisés. Les fonctions de décompte correspondantes sont désignées $P(x)$ et $N(x$). Le problème de Beurling consiste à donner des conditions sur $N(x)$ qui entrainent le “ théorème des nombres premiers ” $P(x) \sim x / \log x (x \rightarrow \infty )$. En posant $N(x) = Dx + x \epsilon (x)$, la condition de Beurling est $\epsilon (x) = O((\log x)^\{- a\})$ avec $a &gt; \frac\{3\}\{2\}$, et il y a un contre-exemple avec $a = \frac\{3\}\{2\}$. L’article montre que la condition $\epsilon (x)\log x \in L^2(\mathbb \{R\}^+, dx/x)$ est suffisante, comme l’avaient conjecturé Bateman et Diamond.},
author = {Kahane, Jean-Pierre},
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keywords = {generalized prime numbers; Beurling algebra; Wiener algebra; Sobolev algebra},
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TY - JOUR
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JO - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
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AB - Soit $P$ une partie discrète et multiplicativement libre de la demi-droite ouverte $]1,\infty [$, et $N$ le semi-groupe unitaire engendré par $P$. Les éléments de $P$ s’appellent nombres premiers généralisés et ceux de $N$ entiers généralisés. Les fonctions de décompte correspondantes sont désignées $P(x)$ et $N(x$). Le problème de Beurling consiste à donner des conditions sur $N(x)$ qui entrainent le “ théorème des nombres premiers ” $P(x) \sim x / \log x (x \rightarrow \infty )$. En posant $N(x) = Dx + x \epsilon (x)$, la condition de Beurling est $\epsilon (x) = O((\log x)^{- a})$ avec $a &gt; \frac{3}{2}$, et il y a un contre-exemple avec $a = \frac{3}{2}$. L’article montre que la condition $\epsilon (x)\log x \in L^2(\mathbb {R}^+, dx/x)$ est suffisante, comme l’avaient conjecturé Bateman et Diamond.
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KW - generalized prime numbers; Beurling algebra; Wiener algebra; Sobolev algebra
UR - http://eudml.org/doc/247998
ER -

References

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  1. [1] Bateman P.T. and Diamond H.G., Asymptotic distribution of Beurling's generalized prime numbers, Studies in number theory, M.A.A. Studies6, (W. J. Leveque, ed.), 1969. Zbl0216.31403
  2. [2] Beurling A., Analyse de la loi asymptotique de la distribution des nombres premiers généralisés, Acta Math.68 (1937), 255-291. Zbl0017.29604JFM63.0138.01
  3. [3] Diamond H.G., The prime number theorem for Beurling's generalized numbers, J. Number Theory1 (1969), 200-207. Zbl0167.32001MR242779
  4. [4] Kahane J.-P., Une formule de Fourier sur les nombres premiers, Gazette des Mathématiciens67 (janvier 1996), 3-9. Zbl0879.11001MR1378291
  5. [5] Kahane J.-P., Une formule de Fourier pour les nombres premiers, application aux nombres premiers généralisés de Beurling, Publ. Math. Orsay96.1 (1996), "Harmonic analysis from the Pichorides viewpoint " (Myriam Déchamps, ed.). Zbl0874.11068MR1426373
  6. [6] Kahane J.-P., A Fourier formula for prime numbers, Canadian Mathematical Society Conference Proceedings21 (1997), 89-102. Zbl0905.11041MR1472780

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