Le rôle des algèbres $A$ de Wiener, $A^{\infty }$ de Beurling et $H^1$ de Sobolev dans la théorie des nombres premiers généralisés de Beurling

Kahane, Jean-Pierre. "Le rôle des algèbres $A$ de Wiener, $A^\infty $ de Beurling et $H^1$ de Sobolev dans la théorie des nombres premiers généralisés de Beurling." Annales de l'institut Fourier 48.3 (1998): 611-648. <http://eudml.org/doc/75296>.

@article{Kahane1998,
abstract = {La théorie des nombres premiers généralisés de Beurling fait intervenir $N(x)$, la fonction de décompte des entiers généralisés, $P(x)$, celle des nombres premiers généralisés, et $\zeta (s)$, la fonction dzeta adaptée. Les hypothèses sur $N(x)$ se traduisent en propriétés de $\zeta (s)$, qui entraînent ou non le “théorème des nombres premiers” (TNP) $P(x)\sim x/\{\rm log\}\,x$ ou “ l’inégalité de Tchebycheff” (IT) $P(x)=O(x/\{\rm log\}\,x)$. L’article est consacré au rôle de la fonction $it\zeta (1+it)$, en relation avec les algèbres $A=\{\cal F\}L^1(\{\Bbb R\}),\; A^\infty =\Big \lbrace f\displaystyle \{\sup _\{y\ge \vert x\vert \}\}\vert (\{\cal F\}f)(x)\vert \in L^1(\{\Bbb R\}^ +,dy)\Big \rbrace $ et $H^1=\{\cal F\}L^2 (\{\Bbb R\},(1+y^2)dy)$. On montre que l’hypothèse $it\zeta (1+it)\{\rm exp\}(-2\vert t\vert ^\alpha )\in H^1$ entraîne (TNP) quand $\alpha &lt; 2$ et non quand $\alpha =2$, et que l’appartenance locale de $it\zeta (1+it)$ à $H^1$ ou $A^\infty $ (mais non $A$) au voisinage de 0 entraîne (IT).},
author = {Kahane, Jean-Pierre},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
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language = {fre},
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TY - JOUR
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JO - Annales de l'institut Fourier
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PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
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EP - 648
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LA - fre
KW - generalized prime numbers; Beurling algebra; Wiener algebra; Sobolev algebra
UR - http://eudml.org/doc/75296
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