Transcendance et fonctions modulaires

François Gramain

Journal de théorie des nombres de Bordeaux (1999)

  • Volume: 11, Issue: 1, page 73-90
  • ISSN: 1246-7405

Abstract

top
English title: Transcendence and modular functions. After recalling links between elliptic curves and modular functions, we present, with numerous corollaries (in particular the algebraic independence of π , e π and Γ ( 1 / 4 ) ), the theorem obtained by Yuri Nesterenko in 1996 : if E 2 , E 1 and E 6 are the three first Eisenstein series and if q satisfies 0 > | q | > 1 (in both complex and p -adic cases), then the field ℚ ( q , E 2 ( q ) , E 4 ( q ) , E 6 ( q ) ) has transcendence degree at least 3 over Q . The origin of Nesterenko’s work is the proof, in 1995 by a team of Saint-Étienne, of Mahler-Manin conjecture about the modular invariant J - 1728 E 4 3 E 4 3 - E 6 2 : if q ∈ ℂ or q ∈ ℂ p satisfies 0 > | q | > 1 , then q and J ( q ) are not both algebraic. An annex describes the transcendence method of Mahler and why it does not work in this case.

How to cite

top

Gramain, François. "Transcendance et fonctions modulaires." Journal de théorie des nombres de Bordeaux 11.1 (1999): 73-90. <http://eudml.org/doc/248338>.

@article{Gramain1999,
abstract = {Cette rédaction contient l'exposé fait aux Journées Arithmétiques 97 et une annexe concernant la méthode de Mahler. Le début de l'exposé présente les notions mises en jeu dans le cœur du sujet (courbes elliptiques et formes modulaires). Pour un traitement complet de ces notions on peut se référer à [Ser], [Lan1] et [Lan2]. Une preuve complète du théorème de Yuri Nesterenko se trouve, en dehors de l'article original ([Nes1] pour l'annonce et [Nes2] pour les démonstrations), dans les exposés de Michel Waldschmidt au Séminaire Bourbaki [Wal1] et à Carleton [Wal2]. Pour les résultats quantitatifs les plus récents, on pourra consulter [Nes3].},
author = {Gramain, François},
journal = {Journal de théorie des nombres de Bordeaux},
keywords = {survey; transcendence; values of modular functions; Mahler-Manin conjecture; transcendence degree; Mahler's method},
language = {fre},
number = {1},
pages = {73-90},
publisher = {Université Bordeaux I},
title = {Transcendance et fonctions modulaires},
url = {http://eudml.org/doc/248338},
volume = {11},
year = {1999},
}

TY - JOUR
AU - Gramain, François
TI - Transcendance et fonctions modulaires
JO - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY - 1999
PB - Université Bordeaux I
VL - 11
IS - 1
SP - 73
EP - 90
AB - Cette rédaction contient l'exposé fait aux Journées Arithmétiques 97 et une annexe concernant la méthode de Mahler. Le début de l'exposé présente les notions mises en jeu dans le cœur du sujet (courbes elliptiques et formes modulaires). Pour un traitement complet de ces notions on peut se référer à [Ser], [Lan1] et [Lan2]. Une preuve complète du théorème de Yuri Nesterenko se trouve, en dehors de l'article original ([Nes1] pour l'annonce et [Nes2] pour les démonstrations), dans les exposés de Michel Waldschmidt au Séminaire Bourbaki [Wal1] et à Carleton [Wal2]. Pour les résultats quantitatifs les plus récents, on pourra consulter [Nes3].
LA - fre
KW - survey; transcendence; values of modular functions; Mahler-Manin conjecture; transcendence degree; Mahler's method
UR - http://eudml.org/doc/248338
ER -

References

top
  1. [Bar1] K. Barré, Propriétés de transcendance des séries d'Eisenstein. Séminaire de Théorie des nombres de Paris1994-1995 (à paraître). 
  2. [Bar2] K. Barré, Mesure d'approximation simultanée de q et J(q). J. Number Th.66 (1997), 102-128. Zbl0898.11030MR1467192
  3. [BDGP] K. Barré-Sirieix, G. Diaz, F. Gramain et G. Philibert, Une preuve de la conjecture de Mahler-Manin. Invent. Math.124 (1996), 1-9. Zbl0853.11059MR1369409
  4. [Ber1] D. Bertrand, Séries d'Eisenstein et transcendance. Bull. Soc. Math. France104 (1976), 309-321. Zbl0341.10031MR437468
  5. [Ber2] D. Bertrand, Fonctions modulaires, courbes de Tate et indépendance algébrique. Séminaire Delange-Pisot-Poitou, Paris, 19ème année (1977/78), exposé 36, 11p. Zbl0396.10021MR520325
  6. [Ber3] D. Bertrand, Theta functions and transcendence. Madras Number Theory Symposium 1996, The Ramanujan J. Math.1 (1997), 339-350. Zbl0916.11043MR1608721
  7. [Chu] G.V. Chudnovsky, Contributions to the theory of transcendental numbers. Math. Surveys and Monographs 19, Amer. Math. Soc., (1984), 450p. Zbl0594.10024MR772027
  8. [Coh] P. Cohen, On the coefficients of the transformation polynomials for the elliptic modular function. Math. Proc. Camb. Phil. Soc.95 (1984), 389-402. Zbl0541.10026MR755826
  9. [Dia] G. Diaz, La conjecture des quatre exponentielles et les conjectures de D. Bertrand sur la fonction modulaire. J. Théor. Nombres Bordeaux9 (1997), 229-245. Zbl0887.11030MR1469670
  10. [DNNS] D. Duverney, K. Nishioka, K. Nishioka and I. Shiokawa, Transcendence of Jacobi's theta series and related results. Number Theory - Diophantine, Computational and Algebraic Aspects, K. Gyôry, A. Pethö and V.T. Sôs eds, Proc. Conf. Number Theory Eger 1996, de Gruyter, Berlin (à paraître). Zbl0938.11039
  11. [GPhi1] G. Philibert, Une mesure d'indépendance algébrique. Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 38 (1988), 85-103. Zbl0644.10026MR976686
  12. [GPhi2] G. Philibert, Un lemme de zéros modulaire. J. Number Theory66 (1997), 306-313. Zbl0889.11027MR1473885
  13. [Lan1] S. Lang, Elliptic functions. Addison-Wesley, Reading, MA, (1973). seconde édition, GTM 112, Springer-Verlag, New York..., (1987). Zbl0615.14018MR890960
  14. [Lan2] S. Lang, Introduction to Modular Forms. Grundlehren 222, Springer-Verlag, Berlin..., (1976). Zbl0344.10011MR429740
  15. [Mah1] K. Mahler, Remarks on a paper by Wolfgang Schwarz. J. Number Theory1 (1969), 512-521. Zbl0184.07602MR249366
  16. [Mah2] K. Mahler, On algebraic differential equations satisfied by automorphic functions. J. Austral. Math. Soc.10 (1969), 445-450. Zbl0207.08302MR262493
  17. [Mah3] K. Mahler, Arithmetische Eigenschaften der Lösungen einer Klasse von funktional Gleichungen. Math. Ann.101 (1929), 342-366. Zbl55.0115.01MR1512537JFM55.0115.01
  18. [Mah4] K. Mahler, On the coefficients of the 2n-th transformation polynomial for j(ω). Acta Arith.XXI (1972), 89-97. Zbl0257.10013
  19. [Man] Yu. I. Manin, Cyclotomic fields and modular curves. Uspekhi Mat. Nauk26 (1971), 7-71 [en russe]. trad. angl.: Russian Math. Surveys26 (1971), 7-78. Zbl0266.14012MR401653
  20. [Mas] D.W. Masser, Elliptic Functions and Transcendence. L. N. in Math. 437, Springer-Verlag, Berlin..., (1975). Zbl0312.10023MR379391
  21. [Nes1] Yu.V. Nesterenko, Modular functions and transcendence problems - Un théorème de transcendance sur les fonctions modulaires. C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, 322 (1996), 909-914. Zbl0859.11047MR1393533
  22. [Nes2] Yu.V. Nesterenko, Modular functions and transcendence questions. Math. Sb.187 (1996), 65-96 [en russe]. trad. angl.: Math. USSR Sb.187 (1996) 1319-1348. Zbl0898.11031MR1422383
  23. [Nes3] Yu.V. Nesterenko, On a measure of algebraic independence of values of Ramanujan's functions. Trudy Math. Inst. Steklov, 218, (1997), 299-334. trad. angl.: Proc. Steklov Inst. Math., 218, (1997), 294-331. Zbl0913.11030MR1642405
  24. [Nis] K. Nishioka, Mahler Functions and Transcendence. L. N. in Math.1631, Springer-Verlag, Berlin..., (1996). Zbl0876.11034MR1439966
  25. [Phi1] P. Philippon, Critères pour l'indépendance algébrique. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.64 (1987), 5-52. Zbl0615.10044MR876159
  26. [Phi2] P. Philippon, Une approche méthodique pour la transcendance et l'indépendance algébrique de valeurs de fonctions analytiques. J. Number Theory64 (1997), 291-338. Zbl0901.11026MR1453214
  27. [Phi3] P. Philippon, Indépendance algébrique et K-fonctions. J. reine angew. Math.497 (1998), 1-15. Zbl0887.11032MR1617424
  28. [Phi4] P. Philippon, Mesures d'approximation de valeurs de fonctions analytiques. Acta Arith.88 (1999), 113-127. Zbl0938.11038MR1700241
  29. [Sch] Th. Schneider, Einführung in die transzendenten Zahlen. Springer-Verlag, Berlin... (1957) ; trad. franç.: Introduction aux nombres transcendants, Gauthier-Villars, Paris, (1959). Zbl0077.04703MR86842
  30. [Ser] J.-P. Serre, Cours d'arithmétique. Presses Univ. France, Paris, (1970) ; trad. angl.: A course in arithmetic, GTM 7, Springer-Verlag, New York..., (1973). Zbl0225.12002
  31. [Wal1] M. Waldschmidt, Sur la nature arithmétique des valeurs de fonctions modulaires. Sém. Bourbaki, 49ème année, (1996 /97), n° 824; Soc. Math. France, Astérisque245 (1997), 105-140. Zbl0908.11029MR1627109
  32. [Wal2] M. Waldschmidt, Transcendance et indépendance algébrique de valeurs de fonctions modulaires. CNTA5, Carleton 1996; Proceedings of the fifth Conference of the Canadian Number Theory Association, éd.: R. Gupta et K. Williams, CRM Proceedings and Lecture Notes (AMS) Vol. 19 (1999), 353-375. Zbl0930.11055MR1684616

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.