Sur la nature arithmétique des valeurs de fonctions modulaires

 Access to full text

 Full (PDF)

1. [1] K. Barré-Sirieix, G. Diaz, F. Gramain, G. Philibert - Une preuve de la conjecture de Mahler-Manin, Invent. Math.124 (1996), 1-9. Zbl0853.11059MR1369409
2. [2] Yu.V. Nesterenko - Modular functions and transcendence questions, Mat. Sb., 187 N° 9 (1996), 65-96. Engl. Transl., Sbornik Math., 187 N° 9 (1996), 1319-1348. Zbl0898.11031MR1422383
3. [3] Yu.V. Nesterenko - Modular functions and transcendence problems - Un théorème de transcendance sur les fonctions modulaires, C. R. Acad. Sc. Paris, Sér. 1322 (1996), 909-914. Zbl0859.11047MR1393533
4. [4] Th. Schneider - Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale, Math. Ann.113 (1937), 1-13. Zbl62.0186.02MR1513075JFM62.0186.02
5. [5] Th. Schneider - Einführung in die transzendenten Zahlen, Springer-Verlag1957 (en allemand) ; trad. franç. : Introduction aux nombres transcendants, Gauthier-Villars1959. Zbl0077.04703MR86842
6. [6] K. Mahler - Remarks on a paper by W. Schwarz, J. Number Theory1 (1969), 512-521. Zbl0184.07602MR249366
7. [7] Yu. Manin - Cyclotomic fields and modular curves, Usp. Mat. Nauk26 N°6 (1971), 7-71 (en russe) ; trad. angl. : Russian Math. Surveys26 (1971), 7-78. Zbl0266.14012MR401653
8. [8] B. Mazur, J. Tate and J. Teitelbaum - On p-adic analogs of the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer, Invent. Math.84 (1986), 1-48. Zbl0699.14028MR830037
9. [9] H. Hida, J. Tilouine, E. Urban - Adjoint modular Galois representations and their Selmer groups, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.94 (1997), 4249-4252. Zbl0909.11025MR1491970
10. [10] K. Mahler - Arithmetische Eigenschaften einer Klasse transzendental-transzendenter Funktionen, Math. Z.32 (1930), 545-585. Zbl56.0186.01MR1545184JFM56.0186.01
11. [11] K. Nishioka - Mahler's functions and transcendence, Lecture Notes in Math.1631Springer-Verlag (1996). Zbl0876.11034MR1439966
12. [12] P. Bundschuh - Quelques résultats arithmétiques sur les fonctions thêta de Jacobi, Groupe d'Etude sur les Problèmes Diophantiens, 1983-84, fasc. 1, Publ. Univ. P. et M. Curie64 (1984), n°1, 15 pp. 
13. [13] F. Gramain, M. Mignotte et M. Waldschmidt - Valeurs algébriques de fonctions analytiques, Acta Arith.47 (1986), 97-121. Zbl0553.10026MR867491
14. [14] I. Wakabayashi - Algebraic values of functions on the unit disk, Proc. Prospects of Math. Sci., World Sci. Pub. (1988), 235-266. Zbl0653.10030MR948473
15. [15] P. Bundschuh et M. Waldschmidt - Irrationality results for theta functions by Gel'fond-Schneider's method, Acta Arith.53 (1989), 73-91 et 78 (1996), 99. Zbl0642.10035MR1425003
16. [16] G. Wüstholz - Algebraische Unabhängigkeit von Werten von Funktionen, die gewissen Differentialgleichungen genügen, J. reine angew. Math.317 (1980),102- 119. Zbl0422.10028MR581339
17. [17] C.L. Siegel - Über die Perioden elliptischer Funktionen, J. reine angew. Math.167 (1932), 62-69. Zbl0003.26501
18. [18] Th. Schneider - Zur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale, J. reine angew. Math.183 (1941), 110-128. Zbl0024.15504MR6170JFM67.0147.02
19. [19] D.W. Masser - Elliptic functions and transcendence, Springer-Verlag, Lecture Notes in Math.437 (1975). Zbl0312.10023MR379391
20. [20] G.V. Chudnovskij - Algebraic independence of constants connected with exponential and elliptical functions, Dokl. Ukr. SSR Ser. A8 (1976), 698-701 (en russe) ; résumé angl. p. 767. Zbl0337.10024MR424711
21. [21] G.V. Chudnovsky - Algebraic independence of values of exponential and elliptic functions, Proc. Intern. Cong. Math. Helsinki1 (1978), 339-350. Zbl0431.10019MR772028
22. [22] G.V. Chudnovsky - Contributions to the theory of transcendental numbers, Math. Surveys and Monographs N°19, Amer. Math. Soc., 1984, 450 pp. Zbl0594.10024MR772027
23. [23] M. Waldschmidt - Les travaux de G. V. Čudnovskiĭ sur les nombres transcendants, Sém. Bourbaki 28ème année (1975/76), N° 488 ; Springer-Verlag, LectureNotes in Math.567 (1977), 274-292. Zbl0345.10020MR439764
24. [24] Y. André - G-fonctions et transcendance, J. reine angew. Math.476 (1996), 95-125. Zbl0848.11033MR1401697
25. [25] J.M. Borwein and I.J. Zucker - Fast evaluation of the gamma function for small rational fractions using complete elliptic integrals of the first kind, IMA Journal of Numerical Analysis12 (1992), 519-526. Zbl0758.65008MR1186733
26. [26] S. Lang - Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Math.59Springer-Verlag1978. Pour étudier la transcendance de nombres tels que Γ(1/5), on est amené à considérer des formes différentielles sur des courbes de genre > 2, et à utiliser la formule de Chowla et Selberg : Zbl0395.12005
27. [27] S. Chowla and A. Selberg - On Epstein's zeta function, J. reine angew. Math.227 (1966), 97-110. Zbl0166.05204MR215797
28. [28] B. Gross - On the periods of abelian integrals and a formula of Chowla and Selberg, Invent. Math.45 (1978), 193-208. Zbl0418.14023MR480542
29. [29] N. Koblitz and D.E. Rohrlich - Simple factors in the Jacobian of a Fermat curve, Canad. J. Math.30 (1978), 1183-1205. Zbl0399.14023MR511556
30. [30] N. Koblitz - Gamma function identities and elliptic differentials on Fermat curves, Duke Math. J.45 (1978), 87-99. Zbl0376.14014MR476752
31. [31] D. Bertrand - Séries d'Eisenstein et transcendance, Bull. Soc. Math. France104 (1976), 309-321.puis de ceux de Chudnovsky : Zbl0341.10031MR437468
32. [32] D. Bertrand - Fonctions modulaires, courbes de Tate et indépendance algébrique, Sém. Delange-Pisot-Poitou (Théorie des Nombres) 19ème année (1977/78), n°36, 11 pp. Zbl0396.10021MR520325
33. [33] D. Bertrand - Modular functions and algebraic independence, Proc. Conf. p-adic analysis, Nijmegen1978, Kath. Univ. Report n°7806. MR522118
34. [34] D. Bertrand - Fonctions modulaires et indépendance algébrique II, Journées Arithmétiques Luminy, Soc. Math. France, Astérisque61 (1979), 29-34. Zbl0414.10035MR556663
35. [35] S. Lang - Transcendental numbers and diophantine approximations, Bull. Amer. Math. Soc.77 (1971), 635-677. Zbl0218.10053MR289424
36. [36] D. Bertrand - Theta functions and transcendence, Madras Number Theory Symposium 1996, The Ramanujan J., 1 (1997), 339-350. Zbl0916.11043MR1608721
37. [37] D. Duverney, K. Nishioka, K. Nishioka and I. Shiokawa - Transcendence of Jacobi's theta series, Proc. Japan. Acad. Sc., 72, Sér. A (1996), 202-203 ; Transcendence of Jacobi's theta series and related results, in "Number Theory - Diophantine, Computational and Algebraic Aspects", K. Györy, A. Pethö and V.T. Sòs, eds., Proc. Conf. Number Theory Eger 1996, W. de Gruyter, à paraître ; Transcendence of Roger-Ramanujan continued fraction and reciprocal sums of Fibonacci numbers, Proc. Japan. Acad. Sc., à paraître. Zbl0884.11030MR1434685
38. [38] J. Liouville - Sur des classes très étendues de quantités dont la valeur n'est ni algébrique, ni même réductible à des irrationnelles algébriques, J. Math. Pures App.16 (1851), 133-142 
39. [39] P. Bundschuh - Ein Satz über ganze Funktionen und Irrationalitätsausagen, Invent. Math.9 (1970), 175-184. Zbl0188.10801MR258758
40. [40] P. Bundschuh - Zwei Bemerkungen über transzendente Zahlen, Mh. Math.88 (1979), 293-304. Zbl0401.10042MR555344
41. [41] K. Mahler - On algebraic differential equations satisfied by automorphic functions, J. Austral. Math. Soc.10 (1969), 445-450. Zbl0207.08302MR262493
42. [42] K. Nishioka - A conjecture of Mahler on automorphic functions, Arch. Math.53 (1989), 46-51. Zbl0684.10022MR1005168
43. [43] K. Mahler - On the coefficients of the 2n-th transformation polynomial for j(ω), Acta Arith.21 (1972), 89-97. Zbl0257.10013
44. [44] K. Mahler - On the coefficients of transformation polynomials for the modular function, Bull. Austral. Math. Soc.10 (1974), 197-218. Zbl0269.10013MR354556
45. [45] P. Cohen - On the coefficients of the transformation polynomials for the elliptic modular function, Math. Proc. Camb. Phil. Soc.95 (1984), 389-402. Zbl0541.10026MR755826
46. [46] S. Lang - Nombres transcendants, Sém. Bourbaki 18ème année (1965/66), N° 305. Zbl0236.10019
47. [47] S. Lang - Introduction to transcendental numbers, Addison-Wesley series in Math., Addison-Wesley1966. Zbl0144.04101MR214547
48. [48] K. Ramachandra - Contributions to the theory of transcendental numbers (I), Acta Arith.14 (1968), 65-72 ; (II), id., 73-88. Zbl0176.33101MR224566
49. [49] J-P. Serre - Dépendance d'exponentielles p-adiques, Sém. Delange-Pisot-Poitou (Théorie des Nombres) 7ème année (1965/66), n° 15. Zbl0254.10033
50. [50] D. Bertrand - Valeurs de fonctions thêta et hauteurs p-adiques, Sém. Th. Nombres, Paris1980-81, (Séminaire Delange-Pisot-Poitou), Progress in Math.22, Birkhäuser Verlag (1982), 1-11. Zbl0488.10031
51. [51] G. Diaz - La conjecture des quatre exponentielles et les conjectures de D. Bertrand sur la fonction modulaire, J. Th. Nombres Bordeaux, 9 (1997), 229- 245. Zbl0887.11030MR1469670
52. [52] A. Faisant et G. Philibert - Quelques résultats de transcendance liés à l'invariant modulaire j, J. Number Theory25 (1987), 184-200. Zbl0633.10035MR873876
53. [53] G. Philibert - Une mesure d'indépendance algébrique, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 38 (1988), 85-103. Zbl0644.10026MR976686
54. [54] K. Barré - Mesures de transcendance pour l'invariant modulaire, C. R. Acad. Sc. Paris, Sér. 1323 (1996), 447-452. Zbl0868.11032MR1408974
55. [55] K. Barré - Mesure d'approximation simultanée de q et J(q), J. Number Theory, à paraître. Zbl0898.11030
56. [56] P. Philippon - Indépendance algébrique et K-fonctions, J. reine angew. Math., à paraître. Zbl0887.11032MR1617424
57. [57] P. Philippon - Une approche méthodique pour la transcendance et l'indépendance algébrique de valeurs de fonctions analytiques, J. Number Theory, 64 (1997), 291-338. Zbl0901.11026MR1453214
58. [58] M. Laurent - New methods in algebraic independence, Proc. Conf. Number Theory Eger1996, à paraître. Zbl0933.11039
59. [59] Yu.V. Nesterenko - Estimates of the orders of zeros of analytic functions of a certain class and their application to the theory of transcendental numbers, Dokl. Akad. Nauk SSSR205 (1972) ; trad. angl. Soviet Math. Dokl.13 (1972), 938-942. Zbl0265.30006
60. [60] Yu.V. Nesterenko - Estimates for the orders of zeros of functions of a certain class and application in the theory of transcendental numbers, Izv. Akad. Nauk SSSR41 (1977) ; trad. angl. Math. USSR Izv.11 (1977), 239-270. Zbl0378.10022
61. [61] D.W. Masser - A vanishing theorem for power series, Invent. Math.67 (1982), 275-296. Zbl0481.10034MR665158
62. [62] D.W. Masser - Zero estimates on group varieties, Proc. Intern. Cong. Math. Warszawa (1983), 493-502. Zbl0564.10040MR804705
63. [63] P. Philippon - Lemme de zéros dans les groupes algébriques commutatifs, Bull. Soc. Math. France114 (1986), 355-383, et 115 (1987), 397-398. Zbl0617.14001MR878242
64. [64] D. Bertrand - Lemmes de zéros et nombres transcendants, Sém. Bourbaki, 38ème Année 1985-86, N° 652 ; Soc. Math. France, Astérisque, 145-146 (1987), 21-44. Zbl0613.14001MR880024
65. [65] Yu.V. Nesterenko - Estimates for the number of zeros of certain functions, in New Advances in Transcendence Theory, Proc. Conf. Durham1986, ed. A. Baker, Cambridge Univ. Press (1988), 263-269. Zbl0656.10034MR972005
66. [66] Yu.V. Nesterenko - Bounds for the number of zeroes of functions of a certain class, Acta Arith.53 (1989), 29-46 (en russe). Zbl0717.11026MR1045455
67. [67] Yu.V. Nesterenko - Algebraic independence of values of analytic functions, Proc. Intern. Cong. Math. Kyoto (1990), 447-457. Zbl0743.11035MR1159233
68. [68] G. Philibert - Un lemme de zéros pour l'invariant modulaire, J. Number Theory, à paraître. 
69. [69] P. Philippon - Critères pour l'indépendance algébrique, Inst. Hautes Et. Sci. Publ. Math.64 (1986), 5-52. Zbl0615.10044MR876159
70. [70] E.M. Jabbouri - Sur un critère pour l'indépendance algébrique de P. Philippon, Approximations diophantiennes et nombres transcendants, Luminy1990, éd. P. Philippon, W. De Gruyter, 1992, 285-307. Zbl0777.11024MR1176530
71. [71] M. Ably - Résultats quantitatifs d'indépendance algébrique pour les groupes algébriques, J. Number Theory42 (1992), 194-231. Zbl0758.11032MR1183376
72. [72] C. Jadot. - Critères pour l'indépendance algébrique et linéaire, Thèse, Univ. P. et M. Curie (ParisVI), 1996. 
73. [73] S. Ramanujan - On certain arithmetical functions, Trans. Camb. Phil. Soc.22 (1916), 159-184; Collected Papers of Srinivasa Ramanujan, Chelsea Publ., N.Y.1927, N°18, 136-162. MR2280861
74. [74] J-P. Serre - Cours d'arithmétique, Coll. SUP, Presses Univ. France, 1970; trad. angl. : A course in arithmetic, Graduate Texts in Math.7Springer-Verlag1973. Zbl0225.12002
75. [75] S. Lang - Elliptic functions, Springer-Verlag1973. Zbl0615.14018MR890960
76. [76] S. Lang - Introduction to modular forms, Springer-Verlag1976. Zbl0344.10011MR429740
77. [77] K. Chandrasekharan - Elliptic functions, Grund. der math. Wiss.281Springer-Verlag1985. Zbl0575.33001MR808396
78. [78] M. Kaneko - The Fourier coefficients and the singular moduli of the elliptic modular function j(τ), Mem. Fac. Engin. Design Kyoto Inst. Tech.44 (1996), 1-5. Zbl0976.11023
79. [79] Y. Morita - On transcendency of special values of arithmetic automorphic functions, J. Math. Soc. Japan24 (1972), 268-274. Zbl0232.10025MR299562
80. [80] H. Shiga et J. Wolfart - Criteria for complex multiplication and transcendence properties of automorphic functions, J. reine angew. Math.463 (1995), 1-25. Zbl0827.11043MR1332905
81. [81] P. Beazley Cohen - Humbert surfaces and transcendence properties of automorphic functions, Rocky Mountain J. Math.26 (1996), 987-1002. Zbl0888.11030MR1428481
82. [82] D. Thakur - Automata style proof of Voloch's result on transcendence, J. Number Theory58 (1996), 60-63. Zbl0853.11060MR1387722
83. [83] J.F. Voloch - Transcendence of elliptic modular functions in characteristic p, J. Number Theory58 (1996), 55-59. Zbl0853.11061MR1387721

1. Guy Diaz, La conjecture des quatre exponentielles et les conjectures de D. Bertrand sur la fonction modulaire
2. François Gramain, Transcendance et fonctions modulaires
3. Pierre Colmez, La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer $𝐩$-adique