Purely nonseparable extensions with unbounded exponent

Mustapha Chellali; El Hasane Fliouet

Archivum Mathematicum (2004)

  • Volume: 040, Issue: 2, page 129-159
  • ISSN: 0044-8753

Abstract

top
Dans [Swe], Sweedler a caractérisé les extensions purement inséparables K / k d’exposant fini qui sont produit tensoriel d’extensions simples. En vue d’étendre ce résultat aux extensions d’exposants non bornés, L. Kime dans [Kim] propose les extensions k ( x p - ∞ ) = k ( x p - 1 , x p - 2 , ⋯ ) comme généralisation d’extensions simples. Dans ce travail, on propose d’autres généralisations naturelles. Ceci nous a permis de décrire explicitement toutes les extensions purement inséparables K / k lorsque le degré d’imperfection de k est ≤ 2 . Dans [Dev2] J. K. Deveney a construit une extension purement inséparable K / k infinie ayant toutes ses sous-extensions propres L / k finies et telle que pour tout entier n , [ k p - n ∩ K , k ] = p 2 n ( p étant la caractéristique de k ). Cet exemple s’est avéré fort utile pour notre travail. On construit pour tout entier j une extension purement inséparable K / k infinie ayant toutes ses sous-extensions propres L / k finies et telle que pour tout entier n , [ k p - n ∩ K , k ] = p j n . Soit K / k une extension purement inséparable, M / k la plus petite sous-extension de K / k telle que K / M est modulaire, on montre que si le degré d’imperfection de k est fini, alors M est non triviale ( M ≠ K ) ; si le degré d’imperfection de k est infini on donne un contre-exemple où M = K .

How to cite

top

Chellali, Mustapha, and Fliouet, El Hasane. "Extensions purement inséparables d'exposant non borné." Archivum Mathematicum 040.2 (2004): 129-159. <http://eudml.org/doc/249301>.

@article{Chellali2004,
abstract = {Dans [Swe], Sweedler a caractérisé les extensions purement inséparables $K/k$ d’exposant fini qui sont produit tensoriel d’extensions simples. En vue d’étendre ce résultat aux extensions d’exposants non bornés, L. Kime dans [Kim] propose les extensions $k(x^\{p^\{-\infty \}\})=k(x^\{p^\{-1\}\},x^\{p^\{-2\}\},\dots )$ comme généralisation d’extensions simples. Dans ce travail, on propose d’autres généralisations naturelles. Ceci nous a permis de décrire explicitement toutes les extensions purement inséparables $K/k$ lorsque le degré d’imperfection de $k$ est $\le 2$. Dans [Dev2] J. K. Deveney a construit une extension purement inséparable $K/k$ infinie ayant toutes ses sous-extensions propres $L/k$ finies et telle que pour tout entier $n$, $[k^\{p^\{-n\}\}\cap K,k]=p^\{2n\}$ ($p$ étant la caractéristique de $k$). Cet exemple s’est avéré fort utile pour notre travail. On construit pour tout entier $j$ une extension purement inséparable $K/k$ infinie ayant toutes ses sous-extensions propres $L/k$ finies et telle que pour tout entier $n$, $[k^\{p^\{-n\}\}\cap K,k]=p^\{jn\}$. Soit $K/k$ une extension purement inséparable, $M/k$ la plus petite sous-extension de $K/k$ telle que $K/M$ est modulaire, on montre que si le degré d’imperfection de $k$ est fini, alors $M$ est non triviale $(M\ne K)$; si le degré d’imperfection de $k$ est infini on donne un contre-exemple où $M=K$.},
author = {Chellali, Mustapha, Fliouet, El Hasane},
journal = {Archivum Mathematicum},
keywords = {corps parfait; degré d’imperfection; degré d’irrationalité; exposant; extension simple; modulaire; purement inséparable; relativement parfaite; perfect fields; imperfection degree; irrationality degree},
language = {fre},
number = {2},
pages = {129-159},
publisher = {Department of Mathematics, Faculty of Science of Masaryk University, Brno},
title = {Extensions purement inséparables d'exposant non borné},
url = {http://eudml.org/doc/249301},
volume = {040},
year = {2004},
}

TY - JOUR
AU - Chellali, Mustapha
AU - Fliouet, El Hasane
TI - Extensions purement inséparables d'exposant non borné
JO - Archivum Mathematicum
PY - 2004
PB - Department of Mathematics, Faculty of Science of Masaryk University, Brno
VL - 040
IS - 2
SP - 129
EP - 159
AB - Dans [Swe], Sweedler a caractérisé les extensions purement inséparables $K/k$ d’exposant fini qui sont produit tensoriel d’extensions simples. En vue d’étendre ce résultat aux extensions d’exposants non bornés, L. Kime dans [Kim] propose les extensions $k(x^{p^{-\infty }})=k(x^{p^{-1}},x^{p^{-2}},\dots )$ comme généralisation d’extensions simples. Dans ce travail, on propose d’autres généralisations naturelles. Ceci nous a permis de décrire explicitement toutes les extensions purement inséparables $K/k$ lorsque le degré d’imperfection de $k$ est $\le 2$. Dans [Dev2] J. K. Deveney a construit une extension purement inséparable $K/k$ infinie ayant toutes ses sous-extensions propres $L/k$ finies et telle que pour tout entier $n$, $[k^{p^{-n}}\cap K,k]=p^{2n}$ ($p$ étant la caractéristique de $k$). Cet exemple s’est avéré fort utile pour notre travail. On construit pour tout entier $j$ une extension purement inséparable $K/k$ infinie ayant toutes ses sous-extensions propres $L/k$ finies et telle que pour tout entier $n$, $[k^{p^{-n}}\cap K,k]=p^{jn}$. Soit $K/k$ une extension purement inséparable, $M/k$ la plus petite sous-extension de $K/k$ telle que $K/M$ est modulaire, on montre que si le degré d’imperfection de $k$ est fini, alors $M$ est non triviale $(M\ne K)$; si le degré d’imperfection de $k$ est infini on donne un contre-exemple où $M=K$.
LA - fre
KW - corps parfait; degré d’imperfection; degré d’irrationalité; exposant; extension simple; modulaire; purement inséparable; relativement parfaite; perfect fields; imperfection degree; irrationality degree
UR - http://eudml.org/doc/249301
ER -

References

top
  1. Beckert M. T., Maclane S., The minimum number of generators for inseparable algebraic extensions, Bull. Amer. Math. Soc. 46 (1940), 182–186. (1940) MR0001218
  2. Chellali M., Fliouet E., w 0 -generated field extensions, A paraître. 
  3. Chellali M., Fliouet E., Extensions presque modulaires, A paraître. Zbl1140.12004
  4. Deveney J. K., An intermediate theory for a purely inseparable Galois theory, Trans. Amer. Math. Soc. 198 (1975), 287–295. (198) MR0417141
  5. Deveney J. K., w 0 -generated field extensions, Arch. Math. (Basel) 47 (1986), 410–412. (1986) MR0870276
  6. Deveney J. K., Mordeson J. N., Higher derivation Galois theory of inseparable field extensions, Handbook of Algebra, Vol. 1 (1996), 189–220. (1996) Zbl0868.12004MR1421802
  7. Deveney J. K., Mordeson J. N., Invariance in inseparable Galois theory, Rocky Mountain J. Math. 83 (1979), 655–662. (1979) Zbl0465.12009MR0528738
  8. Kime L. A., Purely inseparable modular extensions of unbounded exponent, Trans. Amer. Math. Soc. 176 (1973), 335–349. (1973) Zbl0269.12106MR0311630
  9. Mordeson J. N., Shoultz W. W., p -bases of inseparable field extensions, Arch. Math. (Basel) 227 (1973), 44–49. (1973) Zbl0256.12101MR0318116
  10. Mordeson J. N., Vinograde B., Structure of arbitrary purely inseparable extension fields, SLNM Springer, Berlin 173 (1970). (1970) Zbl0208.30402MR0276204
  11. Pickert G., Inseparable Körperweiterungen, Math. Z. 52 (1949), 81–135. (1949) MR0032596
  12. Sweedler M. E., Structure of inseparable extensions, Ann. Math. 87 (2) (1968), 401–410. (1968) Zbl0168.29203MR0223343
  13. Waterhause W. C., The structure of inseparable field extensions, Trans. Amer. Math. Soc. 211 (1975), 39–56. (1975) MR0379454

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.