Quand seule la sous-somme vide est nulle modulo p

Jean-Marc Deshouillers[1]

  • [1] Institut de Cognitique Université Victor Segalen Bordeaux 2 33076 BORDEAUX Cedex (France) et A2X, UMR 5465 Université Bordeaux 1 et CNRS 33405 TALENCE Cedex (France)

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux (2007)

  • Volume: 19, Issue: 1, page 71-79
  • ISSN: 1246-7405

Abstract

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Let c > 1 , p be a prime number and 𝒜 a subset of / p with cardinality larger than c p and such that for any non empty subset of 𝒜 , one has b b 0 . We show that there exists s coprime with p such that the set s . 𝒜 is very concentrated around the origin, and that it is almost exclusively composed of elements with a positive fractional part. More precisely, one has a 𝒜 s a p < 1 + O ( p - 1 / 4 ln p ) and a 𝒜 , { s a / p } 1 / 2 s a p = O ( p - 1 / 4 ln p ) . We also show that the error terms cannot be replaced by o ( p - 1 / 2 ) .

How to cite

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Deshouillers, Jean-Marc. "Quand seule la sous-somme vide est nulle modulo ${p}$." Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux 19.1 (2007): 71-79. <http://eudml.org/doc/249959>.

@article{Deshouillers2007,
abstract = {Soit $c&gt;1$, $p$ un nombre premier et $\mathcal\{A\}$ une partie de $\mathbb\{Z\}/p\mathbb\{Z\}$ de cardinal supérieur à $c\sqrt\{p\}$ telle que pour tout sous-ensemble non vide $\mathcal\{B\}$ de $\mathcal\{A\}$, on a $\sum _\{b \in \mathcal\{B\}\} b \ne 0$. On montre qu’il existe $s$ premier à $p$ tel que l’ensemble $s.\mathcal\{A\}$ est très concentré autour de l’origine et qu’il est presque entièrement composé d’éléments de partie fractionnaire positive. Plus précisément, on a\[ \sum \_\{a \in \mathcal\{A\}\} \left\Vert \frac\{sa\}\{p\} \right\Vert &lt; 1 + O(p^\{-1/4\} \ln p) \quad \text\{et\} \sum \_\{\begin\{array\}\{c\}a \in \mathcal\{A\},\\ \lbrace sa/p\rbrace \ge 1/2\end\{array\}\} \left\Vert \frac\{sa\}\{p\} \right\Vert = O(p^\{-1/4\} \ln p).\]On montre également que les termes d’erreurs ne peuvent être remplacés par $o(p^\{-1/2\})$.},
affiliation = {Institut de Cognitique Université Victor Segalen Bordeaux 2 33076 BORDEAUX Cedex (France) et A2X, UMR 5465 Université Bordeaux 1 et CNRS 33405 TALENCE Cedex (France)},
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JO - Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux
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PB - Université Bordeaux 1
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AB - Soit $c&gt;1$, $p$ un nombre premier et $\mathcal{A}$ une partie de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ de cardinal supérieur à $c\sqrt{p}$ telle que pour tout sous-ensemble non vide $\mathcal{B}$ de $\mathcal{A}$, on a $\sum _{b \in \mathcal{B}} b \ne 0$. On montre qu’il existe $s$ premier à $p$ tel que l’ensemble $s.\mathcal{A}$ est très concentré autour de l’origine et qu’il est presque entièrement composé d’éléments de partie fractionnaire positive. Plus précisément, on a\[ \sum _{a \in \mathcal{A}} \left\Vert \frac{sa}{p} \right\Vert &lt; 1 + O(p^{-1/4} \ln p) \quad \text{et} \sum _{\begin{array}{c}a \in \mathcal{A},\\ \lbrace sa/p\rbrace \ge 1/2\end{array}} \left\Vert \frac{sa}{p} \right\Vert = O(p^{-1/4} \ln p).\]On montre également que les termes d’erreurs ne peuvent être remplacés par $o(p^{-1/2})$.
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KW - zero-sum subset
UR - http://eudml.org/doc/249959
ER -

References

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  1. Deshouillers J-M., A lower bound concerning subset sums which do not cover all the residues modulo p . Hardy-Ramanujan J. 28 (2005), 30–34. Zbl1222.11037MR2192076
  2. Deshouillers J-M., Freiman G. A., When subset-sums do not cover all the residues modulo p . J. Number Theory 104 (2004), 255–262. Zbl1048.11077MR2029504
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  4. Olson J. E., An addition theorem modulo p . J. Combin. Theory 5 (1968), 45–52. Zbl0174.05202MR227129
  5. Ould Hamidoune Y., Zémor G., On zero sum-free sets. Acta Arith. LXXVIII (1996), 143–152. Zbl0863.11016MR1424536

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