Soient $k$ le corps quadratique réel $\mathbf{Q}\left(\sqrt{d}\right)$ (respectivement le corps biquadratique $\mathbf{Q}(\sqrt{d},\sqrt{-3})$), $d$ un entier positif sans facteur carré, $K$ une extension cubique cyclique non ramifiée de $k$, diédrale sur $\mathbf{Q}$ totalement réelle, (respectivement diédrale sur $\mathbf{Q}\left(\sqrt{-3}\right)$.) On constate qu’on a deux structures possibles pour le groupe des unités $U_K$ de $K$, notées $alpha$ et $delta$.

Dans cet article, nous tentons de généraliser à d’autres situations l’isomorphisme de groupes topologiques qui existe entre le groupe ${\displaystyle ℝ/\mathbb{Z}}$ et le groupe unitaire $𝕌=\{z\in ℂ/|z|=1\}$. Nous montrons que cet isomorphisme existe algébriquement en toute généralité : pour tout corps algébriquement clos $C$ et toute involution $c$ de $C$ les groupes $𝕌(C,c)=\{z\in C/zc(z)=1\}$ et ${\displaystyle C^{\<c\>}/\mathbb{Z}}$ sont isomorphes. Nous donnons ensuite un exemple d’involution $c_0$ de $ℂ$ qui n’est pas conjuguée, dans le groupe $\text{Aut}\left(ℂ\right)$, à la conjugaison complexe et telle que $𝕌(ℂ,c_0)$...

Nous déterminons sous certaines hypothèses, un système fondamental d’unités du corps non pur $K=\mathbb{Q}\left(\omega \right)$ et de son sous-corps quadratique, où $\omega$ est solution du polynôme $$f\left(X\right)=X^4+d^{-2}{M}_6{X}^2-M_4,$$ avec $M_6=D^6+6D^{4}d+9D^2{d}^2+2d^3$, $M_4=D^4+4D^{2}d+2d^2$, $d|D$, $d$, $D\in \mathbb{N}$, non nuls.

Soient $\mathbf{K}=\mathbf{Q}\left(\sqrt{-pq(2+\sqrt{2})}\right)$ où $p$ et $q$ deux nombres premiers différents tels que $p\equiv q\equiv \pm 5mod8$, ${\mathbf{K}}_2^{\left(1\right)}$ le $2$-corps de classes de Hilbert de $\mathbf{K}$, ${\mathbf{K}}_2^{\left(2\right)}$ le $2$-corps de classes de Hilbert de ${\mathbf{K}}_2^{\left(1\right)}$ et $G$ le groupe de Galois de ${\mathbf{K}}_2^{\left(2\right)}/K$. D’après [], la $2$-partie $C_{2,\mathbf{K}}$ du groupe de classes de $\mathbf{K}$ est de type $(2,2)$, par suite ${\mathbf{K}}_2^{\left(1\right)}$ contient trois extensions ${\mathbf{F}}_i/\mathbf{K}$ ; $i=1,2,3$. Dans ce papier, on s’interesse au problème de capitulation des $2$-classes d’idéaux de $\mathbf{K}$ dans ${\mathbf{F}}_i$ $(i=1,2,3)$ et à déterminer la structure de $G$.

Y. Bilu, G. Hanrot et P.M. Voutier ont montré que pour toute paire de Lucas ou de Lehmer $(\alpha ,\beta )$ et pour tout $n\>30$, les entiers, dits nombres de Lucas (ou de Lehmer) $u_n(\alpha ,\beta )$ admettaient un diviseur primitif. L’objet de ce papier est de compléter la liste des nombres de Lucas et de Lehmer défectueux donnée par P.M. Voutier, afin d’en avoir une liste exhaustive.